Veelterm

[kotje]

Bepaal een veelterm met reële coëfficienten en zo laag mogelijke graad die o.a. 3,i,2+i als nulpunten heeft.

[Safe]

Bepaal een veelterm met reële coëfficienten en zo laag mogelijke graad die o.a. 3,i,2+i als nulpunten heeft.

Dan moet de veelterm van de 5e graad zijn met ook de geconjugeerden van i en 2+i als nulptn.

[TD]

En dan heb je de vijf nulpunten, dus de veelterm van de vorm (x-a)(x-b)...(x-e).

[kotje]

Ik ben akkoord met bovenstaande. Maar bestaat er ergens een stelling die zegt als een veelterm één imaginair nulpunt en ook zijn geconjugeerde een nulpunt is en eventueel nog andere nulpunten heeft, al die andere nulpunten reëel moeten zijn en de coëfficienten van de veelterm reëel moeten zijn.

[Safe]

Ik ben akkoord met bovenstaande. Maar bestaat er ergens een stelling die zegt als een veelterm één imaginair nulpunt en ook zijn geconjugeerde een nulpunt is en eventueel nog andere nulpunten heeft, al die andere nulpunten reëel moeten zijn en de coëfficienten van de veelterm reëel moeten zijn.

Als die stelling niet 'bestaat', kan je deze maken en bewijzen natuurlijk.

[TD]

Maar bestaat er ergens een stelling die zegt als een veelterm één imaginair nulpunt en ook zijn geconjugeerde een nulpunt is en eventueel nog andere nulpunten heeft, al die andere nulpunten reëel moeten zijn en de coëfficienten van de veelterm reëel moeten zijn.

Nu 'meng' je wel een aantal (mogelijke) 'stellingen'. We kunnen onder andere stellen:

- Als een veelterm reële coëfficiënten heeft, dan komen complexe oplossingen steeds voor in complex toegevoegde paren.

- Een veelterm met enkel reële en complex toegevoegde nulpunten, heeft steeds reële coëfficiënten.

- Als een complex toegevoegd paar oplossing is van een veeltermvergelijking, dan moeten andere nulpunten niet noodzakelijk reëel zijn (of begrijp ik je verkeerd?): nog andere complex toegevoegde paren kan ook.

[kotje]

TD schreef:

- Als een complex toegevoegd paar oplossing is van een veeltermvergelijking, dan moeten andere nulpunten niet noodzakelijk reëel zijn (of begrijp ik je verkeerd?): nog andere complex toegevoegde paren kan ook.

Als de coëfficienten reëel zijn dan als er een complex nulpunt is dan is zijn toegevoegde noodzakelijk ook een nulpunt.

Als van de coëfficienten minstens één complex is (i komt voor). Kunnen er toegevoegde complexe getallen nulpunten zijn? Ik denk van wel want bv een dubbel nulpunt 3, 3 is toegevoegd aan zichzelf.

[TD]

Een veelterm met minstens één complexe coëfficiënt, kan toegevoegd complexe nulpunten hebben.

Bijvoorbeeld de veelterm met nulpunten i, -i en 2i, is: (x-i)(x+i)(x-2i) = x³ - 2ix² + x - 2i.