Complexe getallen

[JelleLefevre]

Beste

Ik was bezig met volgende oefening mbt complexe getallen, maar ik stap totaal niet de overgang naar de onbekende a... Kunt u me helpen?

Alvast bedankt!

Het gaat om volgende oefening: vereenvoudig 1 + w^2 + (w^2)^4 + (w^2)^9 + (w^2)^16 + (w^2)^25 + (w^2)^36 en w = exp(i pi/7)

oplossing: stel t = w^2, dan is de uitdrukking gelijk aan 1 + 2(t + t^2 + t^4)

(vanaf hier snap ik het niet meer) = 1 + 2a met a en b oplossingen van de vergelijking a^2 + a + 2 = 0. En dat wordt dan verder uitgewerkt. Maar deze redenering snap ik gewoon niet...

[siep]

t = w^2 = \left(e^{i\cdot2\pi}\right)^{1/7}
dus
t^7 = 1

Verder hebben we
z = 1 + 2(t+t^2+t^4)
waarbij we z willen vereenvoudigen.

Stel
a = t+t^2+t^4
dan is
a^2 = (t)^2+(t^2)^2+(t^4)^2 + 2(t)(t^2) + 2(t)(t^4) + 2(t^2)(t^4)
=t^2+t^4+t^8+2t^3+2t^5+2t^6
(t^7=1 dus t^8=t):
=t+t^2+2t^3+t^4+2t^5+2t^6
Tel hier a bij op:
a+a^2=2t+2t^2+2t^3+2t^4+2t^5+2t^6
en tel vervolgens 2 op:
2+a+a^2=2+2t+2t^2+2t^3+2t^4+2t^5+2t^6
ofwel
2+a+a^2=2\cdot(t^0+t^1+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6)

Nu is de laatste term de sommatie van alle complexe zevende-machtswortels van 1, die optellen tot nul, waardoor:
2+a+a^2 = 2\cdot 0 = 0

En als we a weten, dan weten we ook z:
z = 1 + 2(t+t^2+t^4) = 1 + 2a
want we hadden hierboven gedefinieerd:
a = t+t^2+t^4

[JelleLefevre]

Hartelijk dank!