Natuurlijke logaritmes

[jekke006]

Hallo,

Voor een oefening uit mijn cursus scheidingstechnieken moet ik de formule 5=ln⁡(6,5×((A-1)/A)+1)/ln⁡(A)+1 uit rekenen.
Ik verkrijg een 2e graadsfunctie met een negatieve discriminant. Dit kan echter niet.
Mijn werkwijze: 5=ln⁡(6,5×((A-1)/A)+1)/ln⁡(A)+1 -> 4=ln⁡(6,5×((A-1)/A)+1)/ln⁡(A)
->4*ln(A)=ln⁡(6,5×((A-1)/A)+1)
Hierna pak de e-macht van alles zodat de ln wordt weggewerkt en ik alles kan uitreken.

Kunnen jullie mij helpen?

[arno_sciencetalk]

Als ik het goed begrijp wil je A oplossen uit 4\ln A=\ln\left(\frac{6,5(A-1)}{A}+1\right). Links en rechts verheffen tot de macht e geeft dan: A^4=\left(\frac{6,5(A-1)}{A}+1\right). Voor zover ik kan zien kan dit alleen numeriek worden opgelost.

[siep]

Klopt je formule?
De Kremser vergelijkingen voor absorptiesystemen zeggen namelijk:

N \ln(A) = \ln\left( \frac{Y_{N+1}- K\cdot X_0}{Y_1 - K\cdot X_0}\cdot \frac{A-1}{A} + \frac{1}{A} \right)

(zie bv https://nptel.ac.in/courses/103103035/module4/lec4.pdf, formule 4.32/4.33)

Met jouw waarden (N=5, Y_{N+1}=0.03, Y_1 = 0.004, X_0=0) levert dit:

A^5 = 7.5\cdot \left( 1 - \frac{1}{A}\right)+\frac{1}{A} = 7.5 - \frac{6.5}{A}

ofwel

A^6 - 7.5A + 6.5 = 0

Je weet ook dat

A = \frac{L/G}{K}, waarbij G=180 en K=1.1

en dat dus voor de operationele lijn (rood) geldt:

y = \frac{L}{180}\cdot x + 0.004

en voor de evenwichtslijn (groen):

y = 1.1\cdot x

Definieer r = \frac{L}{180} = de richtingscoëfficiënt van de operationele lijn.

Dan geldt voor een 1-staps absorptieketen:

r_1 = \frac{0.03-0.004}{0.004/1.1} = 7.15 waardoor A_1 = \frac{7.15}{1.1} = 6.5

en voor N naar oneindig (waarbij ook L_\infty = L_{min} geldt):

r_\infty = \frac{0.03-0.004}{0.03/1.1} = 0.95333... waardoor A_\infty = \frac{0.95333...}{1.1} = 0.866666....

Dit zijn de bovenste 2 grafieken in dit plaatje:



We hebben nu:

A^6 - 7.5A + 6.5 = 0

voor:

0.866666 < A < 6.5

In de Kremser vergelijking bovenaan moeten we nog wel kijken naar bijzonder geval A = 1:
Deze vergelijking reduceert dan tot
N \ln(1) = \ln(1)
ofwel
N \cdot 0 = 0
en dit geldt voor alle N.

Maar als A=1, dan is r = K = 1.1, en zijn alle verticale stappen even groot als y_1.
In dit geval hebben we dan N = 0.03/0.004 - 1 = 7.5 - 1 = 6.5 stappen nodig om de gewenste concentratie te bereiken.
Dit is de grafiek linksonder in het plaatje.
Dus A_{6.5} = 1.
Omdat N=5 ligt tussen N=1 (waarbij A_1=6.5) en N=6.5 (waarbij A_{6.5}=1) we weten nu: 1 < A < 6.5

We kunnen bovenstaande vergelijking numeriek oplossen in dit laatste interval, bijvoorbeeld via een solve-functie van een rekenmachine of van een computerprogramma, of via de halveringsmethode (zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Halveringsmethode).

Ik kom dan uit op A_5 = 1.08876877861 waardoor r_5 = 1.197645656
en L_5 = 1.197645656 \cdot 180 = 215.58
Ter controle de grafiek rechts onder, waarbij we in N=5 stappen gaan van y=0.004 naar y=0.03.