Het verjaardagsprobleem oplossen met de Poissonbenadering

[Jacko1996]

Ik lees op dit moment een boekje over Poisson en in het bijzonder de Poissonverdeling en zijn toepassingen. Ik stuit niet echt op een probleem met het rekenen middels de verdeling, maar stuit nu wel op een probleem met het begrijpen van een stukje in het boek dat gaat over het verjaardagsprobleem.

Nadat het probleem eerst exact wordt opgelost, wordt de Poissonverdeling en haar mogelijkheid om dit probleem op te lossen uitgelegd en gebruikt en op een gegeven moment wordt gegeven:

“De uitkomsten van de deelexperimenten zijn niet onafhankelijk van elkaar. De afhankelijkheid is echter als licht op te vatten omdat het aantal geboortedagen groot is”

De deelexperimenten waar ze naar refereren zijn de combinaties \binom{m}{2} die gebruikt worden als n in n*p waaruit \Lambda voortkomt. Mijn vraag is: waarom zijn de deelexperimenten niet onafhankelijk van elkaar? Ik begrijp waarom dit relevant zou zijn omdat de Poissonverdeling eigenlijk op te vatten is als limietgeval van de binomiale verdeling, maar ik snap niet waarom de kansen zouden veranderen per experiment. In ieder geval van alle combinaties zou er toch een kans moeten zijn van 1/365 op een succes? Ik snap dat dezelfde personen vaker worden gebruikt, maar dit is altijd weer met iemand anders waardoor het mij lijkt dat de kans elke keer weer 1/365 is op een match. Ik hoop dat dit een beetje duidelijk is, zo niet verhelder ik het een en ander nog graag. De kern van mijn vraag is dus waarom bij het verjaardagsprobleem in de Poissonverdeling de deelexperimenten niet onafhankelijk zouden zijn.

[wnvl]

Als iemand op 1 dag verandert, kan hij niet meer op een andere dag veranderen. Dat is wat ze bedoelen.

Bij de Poisson benadering zou iemand op meerdere dagen tegelijk kunnnen verjaren, omdat er teruglegging is.

Maar eigenlijk heb je de volledig uitwerking nodig om te begrijpen wat ze precies bedoelen.

Was de uitwerking gelijkaardig aan dit?

http://www.math.cornell.edu/~mec/2008-2 ... thday.html

[Jacko1996]

Het is een gelijkaardige uitwerking het komt uit dit boekje: http://www.epsilon-uitgaven.nl/Z5.php. Wat bedoeld u met veranderen? Verjaren?

[wnvl]

Ik bedoelde verjaren.

[wnvl]

Het is waarschijnlijk deze uitwerking?

http://www.wiskundeleraar.nl/bestanden/ ... deling.pdf

Dan zit het anders in mekaar. Een deelexperiment is dan of 2 personen op dezelfde dag verjaren. De deelexperimenten zijn dan niet onafhankelijk van elkaar, wat een nodige voorwaarde is voor Poisson. Immers als persoon 1 en 2 opdezefde dag verjaren en persoon 2 en 3 ook, dan verjaren 1 en 3 ook op dezelfde dag. Er is dus een afhankelijkheid, wat in principe niet mag.

[Jacko1996]

Het is inderdaad die uitwerking. Ik begrijp dat wanneer personen 1, 2 en 3 dezelfde verjaardag hebben wanneer bijvoorbeeld persoon 2 en 1 gekoppeld zijn met dezelfde verjaardag, daardoor ook bepaald is dat 3 en 2 en 3 en 1 gekoppeld zijn en dat zo dus een soort afhankelijkheidsrelatie ontstaat tussen personen 1, 2 en 3.
Wat ik niet zo goed snap is dat dit er voor de kansen toe doet. Ik begreep afhankelijkheid in de context van het binomiaal kansexperiment altijd als onafhankelijk in de zin dat de ene kans de ander niet mag beïnvloeden (bijvoorbeeld wanneer we knikkers uit een vaas halen zonder terugleggen). Als persoon 1, 2 en 3 dezelfde verjaardag hebben zijn de kansen toch niet veranderd dat dit zo is? Het is niet zo dat als ik jarig ben op dag x deze dag weggenomen wordt uit de “vaas met mogelijke dagen” voor de volgende persoon dus in principe is de kans voor iedere persoon nog steeds 1/365. Wordt met afhankelijkheid hier iets anders bedoeld, of klopt mijn redenatie niet?

[wnvl]

De verjaardagen van 1 en 2 beïnvloeden de kans dat er een match is met 3.

Als 1 en 2 op dezelfde dag verjaren is de kans dat 3 op dezelfde dag verjaart als 1 of 2 gelijk aan 1/365.

Als 1 en 2 op een verschillende dag verjaren is de kans dat 3 op dezelfde dag verjaart als 1 of 2 gelijk aan 2/365.

Maakt dit het duidelijk?

[Jacko1996]

Het is nu duidelijk; ik fixeerde te veel op het bekijken van de casus waarbij alle personen dezelfde verjaardag hadden. Bedankt voor de uitleg.