[wiskunde] Oefening integralen

[elbartje]

Kan iemand mij helpen met de volgende oefening ?

\( \int \frac{7}{(2cos²x)}dx \)

Ik vermoed dat ik eerst naar deze vorm moet gaan

\( \int \frac{7}{(1+cos2x)}dx \)

Hier zit ik een beetje vast, ik vind geen algemene formule om deze integraal op te lossen.

[tempelier]

Maar de bovenste is toch al zo goed als een standaard:

kijk eens wat de afgeleide van de tangens is?

Of mag je van die wetenschap geen gebruik maken?

[elbartje]

Bedankt!! Ik was me aan het blindstaren op die 1+cos²x, (het antwoord is dus dus 7/2 tnx+cte

[elbartje]

Graag wat hulp bij deze oefening;

\( \int (x+3)\sqrt{(2x+6)} \)

Ik had al gedacht aan deze stap:

\( \int (x+3)\sqrt{2(x+3)} \)

-->

\( \int (x+3)\sqrt{2}\sqrt{(x+3)} \)

int van wortel 2 = 1 dus dit valt weg

\( \int (x+3)^\frac{3}{2} \)

=>

\( \frac{2*(x+3)^\frac{5}{2}}{5} \)

Maar de uitkomst is niet correct, ik denk dat het fout loopt bij die wortel 2

[JorisL]

Je komt in de buurt, je kan niet zomaar die wortel 2 weglaten. Hoe heb je dat beredeneerd dat de integraal van wortel gelijk is aan 1? En sowieso, de integraal van een product is niet gelijk aan het product van integralen.

[elbartje]

ahja de integraal van wortel 2 = wortel2 * x , ik was even in de war.

Ik weet dat dit niet gelijk is aan het product van integralen. Maar hoe raak ik dan van die wortel 2 af ?

Ik kan de substitutie methode toepassen t=(x+3) maar dan blijft die wortel 2 steeds een probleem.

[tempelier]

Graag wat hulp bij deze oefening;

\( \int (x+3)\sqrt{(2x+6)} \)

Ik had al gedacht aan deze stap:

\( \int (x+3)\sqrt{2(x+3)} \)

-->

\( \int (x+3)\sqrt{2}\sqrt{(x+3)} \)

int van wortel 2 = 1 dus dit valt weg

\( \int (x+3)^\frac{3}{2} \)

=>

\( \frac{2*(x+3)^\frac{5}{2}}{5} \)

Maar de uitkomst is niet correct, ik denk dat het fout loopt bij die wortel 2

Ligt dit niet meer voor de hand?

\( \int (x+3)\sqrt{(2x+6)} dx = \frac{1}{2} \int (2x+6)\sqrt{(2x+6)} dx \)

[elbartje]

hmm ja mss wel, niet aan gedacht. Maar mag je die 1/2 zomaar vooraan schrijven?

\( \sqrt{(2x+6)}\)

mag je toch niet * 1/2 doen ?

[tempelier]

hmm ja mss wel, niet aan gedacht. Maar mag je die 1/2 zomaar vooraan schrijven?

\( \sqrt{(2x+6)}\)

mag je toch niet * 1/2 doen ?

Die half komt ook niet onder de wortel vandaan.

Een constante factor mag je er gewoon uithalen volgens.

\( \int c\cdot f(x) dx = c\int f(x) dx \)

[elbartje]

Bedankt tempelier ik snap hem

[elbartje]

Wat doe ik fout met de volgende ?

\( \int cos^3x \)

\( \int cos^2x * cosx \)

=

\(\int cosx*(\frac{1+cos2x}{2}) = \int \frac{cosx}{2} + \frac{cosx*cos2x}{2} \)

\( 1/2 \int cosx + ... \)

hier zit ik vast, ik vond via wolfram dat

\(\frac{cosx*cos2x}{2} = 1/4 (cosx*cos3x) \)

Maar ik snap niet hoe je hieraan komt en als ik hiermee verder reken kom ik ook niet aan de oplossing.

[TD]

Interessanter is: cos³x = cos²x . cosx = (1-sin²x) . cos(x); kan je dan verder?

[elbartje]

Dan zit weer vast met de vorm cos(x)-sin²x*cos(x).

Dan zou weer deze regel toepassen:

Dan kan ik sin²x vervangen door (1-cos2x)/2 en dan krijg ik weer de vorm

\( cos(x)-\frac{cos(x)-cos2x*cos(x)}{2}\)

[TD]

Haakjes uitwerken is niet nodig; je hebt de substitutiemethode toch gezien? Stel t = sin(x), dan ...

[elbartje]

Oplossing:

\((1-sin²x)*cosx => t=sin(x) dus => \frac{dt}{cosx}=dx \)

\( \int (1-t²)*cosx *\frac{dt}{cosx} \)

\(1t - \frac{t^3}{3} \)

\(sin(x)-\frac{sin^3(x)}{3}+cte\)

* edit*

hehe toch niet simpel met al die regels, Bedankt TD