machtsverheffingen van x

[drc.]

Welk argument heb je daar voor? Stijgend en begrensd?

Inspectie. Voor betrekkelijk kleine waarden van n lijkt het zo dat u_n twee nadert, en vrij snel. Maar dit is niet het sluitende argument. Voor u_100 in
\text{voor } n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \tex{, als }n = 0\text{ dan }u_{n} = sqrt{2}\text{ anders }u_{n} = sqrt(2)^{u_{n-1}} vind ik 1.99999999999999994701...

Ik ben nog niet uit het convergentiebewijs, maar ik denk het volgende, voor het begrenzen:

a^x is stijgend als a > 1 en x toeneemt.
\sqrt{2} < \sqrt{2}^{sqrt{2}} < \sqrt{2}^2 = 2
stel elk lid van de ongelijkheid de macht een macht met het lid als de exponent als grondtal \sqrt{2}. Ik denk dat dit toont dat de power tower <= 2 is, maar een vergelijkbare redenatie toont ook dat het <= 4 is wat samen <= 2 geeft?

De oplossing 4 die je geeft is wel interessant. Werken we met
\text{voor } n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \tex{, als }n = 0\text{ dan }u_{n} = a\text{ anders }u_{n} = sqrt(2)^{u_{n-1}} dan geldt (te bewijzen?) dat
als a < 4 dan u_n -> 2,
als a = 4 dan u_n -> 4,
anders, als a > 4 dan u_n -> oneindig

[op=op]

\(u_{0} = \sqrt{2}\)

\(u_{n} = \sqrt{2}^{u_{n-1}}\)

voor n>0.

Met volledige inductie is hieruit aan te tonen dat

\(u_{n}\le 2\)

voor alle n.

Het klopt voor n=0.
Stel

\(u_{m}\le 2\)

,
dan is

\(u_{m+1} = \sqrt{2}^{u_{m}} \le\mbox{ (}\)

inductiehypothese en

\(x\to\sqrt{2}^x\)

is stijgend

\(\mbox{) }\sqrt{2}^2 = 2\)

.

[drc.]

Hoe kan je hieruit opmaken dat x = sqrt(2) ook daadwerkelijk 2 geeft in plaats van een getal <= 2 (uitsluiten van <)?

[barto]

Ik denk omdat de vergelijking

\(\sqrt 2^x=x\)

slechts 2 en 4 als oplossingen heeft.

Nu blijft het nog zoeken of

\(-\sqrt2\)

ook een oplossing is...

[drc.]

Lijkt me een goede verklaring, maar er was twijfel over die methode als ik het goed begrijp, juist omdat het twee oplossingen geeft, zowel voor sqrt(2)^sqrt(2)^(...) als voor x^x^x^x = 2.

Met de recursie krijg ik periodieke waarden; u(n) = u(n+9). Inspectie maar lijkt mee bewijs tegen convergentie.

Code: Selecteer alles

i u(i)
0 -1.414213562373095048801688724
1 -0.1630939979434148549219376046 + 0.5904359195385348206231159852*I
2 0.1409212957930527495362158019 - 0.04479089834173139805294192888*I
3 1.100086307006725314269837041 + 0.5007913460540363527439209913*I
4 -0.2681687815685467766929081022 - 0.1423469205538788661195174125*I
5 0.8949807505630137397356148928 - 1.109042679617501408669836778*I
6 -33.58356301575628477871874181 + 29.11763055893673889530931102*I
7 6.491878472558128291346615845 E-46 - 1.518078385198129994507331585 E-45*I
8 1.000000000000000000000000000 + 1.513357895454095189313419222 E-45*I
9 -1.414213562373095048801688724 + 0.E-28*I
10 -0.1630939979434148549219376046 + 0.5904359195385348206231159852*I
11 0.1409212957930527495362158019 - 0.04479089834173139805294192888*I
12 1.100086307006725314269837041 + 0.5007913460540363527439209913*I
13 -0.2681687815685467766929081022 - 0.1423469205538788661195174125*I
14 0.8949807505630137397356148928 - 1.109042679617501408669836778*I
15 -33.58356301575628477871874181 + 29.11763055893673889530931102*I
16 6.491878472558128291346615845 E-46 - 1.518078385198129994507331585 E-45*I
17 1.000000000000000000000000000 + 1.513357895454095189313419222 E-45*I
18 -1.414213562373095048801688724 + 0.E-28*I
19 -0.1630939979434148549219376046 + 0.5904359195385348206231159852*I
20 0.1409212957930527495362158019 - 0.04479089834173139805294192888*I
21 1.100086307006725314269837041 + 0.5007913460540363527439209913*I
22 -0.2681687815685467766929081022 - 0.1423469205538788661195174125*I
23 0.8949807505630137397356148928 - 1.109042679617501408669836778*I
24 -33.58356301575628477871874181 + 29.11763055893673889530931102*I
25 6.491878472558128291346615845 E-46 - 1.518078385198129994507331585 E-45*I
26 1.000000000000000000000000000 + 1.513357895454095189313419222 E-45*I

[op=op]

Je 26-ste regel lijkt 1 te zijn.
Dat is niet zo, het is

1,000000000000000000000000000000000000000000004994175...+ 1.513...E-45*I
Curieus.

[barto]

Heel erg vreemd dat

\(u_7=0\)

. Dan is

\((-\sqrt2)^{u_6}=0\)

?

[drc.]

Ja, dat is vreemd. Ik heb dit in Pari gedaan. Hier is mijn code:

Code: Selecteer alles

u(n)=if(n==0,-sqrt(2),(-sqrt(2))^u(n-1))
for(i=0,26,print(i" "u(i)))

Als ik de precisie groter zet dan krijg ik andere waarden, en geldt niet meer u(n) = u(n+9).
u6 is klein, vrij ver onder 0 zodat (-sqrt(2))^u6 ook vrij dicht bij 0 ligt, maar niet 0 is.
Met grotere precisie:
26 1.00000000000000000000000000000000000000000000499417526550148 + 1.51335789545409518931341943571924924655536978340274893967275 E-45*I

[parref]

Jullie hebben hard gewerkt,geweldig.., veel harder dan dat ik had verwacht !
a)De uitkomst is inderdaad x = wortel 2 (in principe was deze uitkomst voldoende..).
Tenslotte ging het enkel om het truckje dat je moest bedenken om hieraan te komen.
b)De optie : x = -wortel 2 is onjuist ! Hiervoor heb ik geen perfect wiskundig bewijs van maar ik
heb het verloop van de powertoren berekend wanneer ik x vervang door -wortel 2 en dit gedurende
een reeks van machtsverheffingen. In alle gevallen kreeg ik een vorm : a + b.i waarbij de modulus
alternerend toeneemt naarmate een machtsverheffing bijkomt.
c)Hoewel niet nodig, heb ik voor mezelf ook eens de powertoren = n, met n een willekeurig getal
lopend vanaf 0 tot oneindig. Hierbij heb ik de grafiek x = f(n)geplot met de max. waarde van x
voor een bepaalde waarde van n.
Het geheel wordt binnenkort gepubliceerd.

[op=op]

Bij

\(x=-\sqrt{2}\)

zijn er 9 ophopingspunten waar de rij naar "convergeert".
De rij

\(u_8, u_{17},\cdots,u_{8+9n},\cdots\)

convergeert niet naar 1.
Deze rij convergeert wel heel snel, elke term geeft 40 extra decimalen.
u(8)-u(0) ~ 10^-44
u(17)-u(8) ~ 10^-84
u(26)-u(17) ~ 10^-124
u(35)-u(26) ~ 10^-164