differentiaalvgl oplossen met machtreeksmethode

[emc2_2]

Hallo,

Ten eerste lukt het me niet te copy pasten van de equation editor naar het document dus ik moet het even zonder doen:


Ik probeer de volgende dv op te lossen met de machtreeksmethode:

y' = 1 + y^2



Nu is het zo dat je dan een machtreeks van y en y' krijgt van de vorm y = som van 0 naar inf van Am*(x)^m en y' = som van 1 naar inf van Am*m*(x)^m-1. Ik krijg het alleen niet voor elkaar nu om de som in de kwadratische y term in de dv zodanig in te vullen dat ik er wat nuttigs uit zie komen (Moet ik de haakjes gewoon uitwerken?). Met scheiding van variabelen is de dv prima op te lossen met als antwoord tan(x+c) maar ik kom er met de MRM niet uit. Ik herken ook niet echt een taylor reeks van de tangens in mijn eindantwoord.

Alvast bedankt voor hulp.

[op=op]

Dit probleem is niet geschikt om met machtreeksen op te lossen.

[emc2_2]

Hmm dat is gek want ik werk voor mijn natuurkundestudie uit het boek van kreyszig advanced engineering mathematics en daarin wordt dit expliciet gevraagd. Heb je toch misschien nog een idee?

[barto]

Deel door 1+y^2, en integreer vervolgens. (Komt de 1+y^2 je niet bekend voor?)

[emc2_2]

Zie mijn eerste post barto. Nogmaals met scheiding van variabelen is deze dv prima met substitutie op te lossen maar het betreft nu de vraag een oplossing te vinden met de machtreeksmethode. Iemand tips?

[op=op]

Dat gaat niet.
Neem de oplossing

\(y=-\cot(x)\)

.
De functie bestaat niet eens in 0.

[wnvl]

Hier een stukje uit het boek en ze staat er inderdaad tussen. Oefening 12.



Het is wel een feit dat de oefening zich niet echt leent tot een oplossing met machtreeksen, maar toch...

y(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...

y(0)=a_0=0

y'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2...=1+a_1^2x^2+2a_1a_2x^3...\cdot

dus

a_1=1

a_2=0

a_3=\frac{1}{3}
...

Er zal wel uitgezocht moeten worden wat het convergentiegebied is...

[wnvl]

Matematica levert deze oplossing op

initconds = {y[0] == 0};
odeOperator = D[#, x] -1 - #^2 &;
yy = Series[y[x], {x, 0, 15}];
soln = SolveAlways[Join[{odeOperator[yy] == 0}, initconds], x];
truncatedSol = Normal[yy /. soln]

[wnvl]

In het blauw de oplossing met de machtreeksen. In het rood een andere numerieke methode.

ode = y'[x] - y[x]^2 - 1 == 0;
approxSol = NDSolve[Join[{ode}, initconds], y[x], {x, 0, 1}];
Plot[{y[x] /. approxSol[[1]]}, {x, 0, 1}]

Zou de convergentie ophouden bij \frac{\pi}{2}???

[op=op]

In het boek staat een héél ander probleem. Hier is gegeven dat y(0)=0.
In dat geval is het mogelijk; in het algemene geval volstrekt onmogelijk.

[wnvl]

In het blauw de oplossing met de machtreeksen. In het rood een andere numerieke methode.

ode = y'[x] - y[x]^2 - 1 == 0;
approxSol = NDSolve[Join[{ode}, initconds], y[x], {x, 0, 1}];
Plot[{y[x] /. approxSol[[1]]}, {x, 0, 1}]

Zou de convergentie ophouden bij \frac{\pi}{2}???

Het is natuurlijk andersom, blauw is een tangens is de echte oplossing.