Munt gooien, binomiaal verdeling, MS Excel

[SixSigma]

Gegeven: ik heb een zuivere (eerlijke) munt en gooi hiermee tien maal.
Oorspronkelijke vraag 1: hoe groot is de kan op exact nul maal kop (bij tien worpen), exact een maal kop, etc.
Oorsponkelijke vraag 2: hoe groot is de kan op nul maal kop (bij tien worpen), hoe groot is de kan op een of minder maal kop, twee of minder maal kop, etc.

Met Microsoft Excel heb ik toen de volgende formules aangemaakt:
voor vraag 1: =BINOMIALE.VERD(totaal aantal worpen ; kans op succes ; aantal keer succes ; ONWAAR)
voor vraag 1: =BINOMIALE.VERD(10 ; 0,50 ; 0...10 ; ONWAAR)
voor vraag 2: =BINOMIALE.VERD(totaal aantal worpen ; kans op succes ; aantal keer succes ; WAAR)
voor vraag 2: =BINOMIALE.VERD(10 ; 0,50 ; 0...10 ; WAAR)

De uitkomsten zijn dan als volgt:
aantal proeven (trails) n=10
kans op succes p=0,50
successen, x
x__P(exact x successen)__P(x of minder successen)
0__0,000976563__________0,000976563
1__0,009765625__________0,010742188
2__0,043945313__________0,054687500
3__0,117187500__________0,171875000
4__0,205078125__________0,376953125
5__0,246093750__________0,623046875
6__0,205078125__________0,828125000
7__0,117187500__________0,945312500
8__0,043945313__________0,989257813
9__0,009765625__________0,999023438
10_0,000976563__________1,000000000

De kans op exact x successen klopt.
Maar dat de kans op 5 of minder maal kop 62,3% is gaat er bij mij niet in. dit zou toch 50% moeten zijn?
We hebben immers 11 kansen op succes en 5 keer succes ligt in het midden.

Vraag: wat doe ik fout.

[Safe]

Je ziet dat de linkerkolom symmetrisch is ... , eens?

Tel de getallen linkerkolom 0 t/m 5 op, wat merk je op? Is dit antwoord op je vraag?

[SixSigma]

Beste SafeX,

Allereerst bedankt voor je snelle reactie!
Klopt de antwoorden in de linker kolom geven ook 63%.
Maar ik bedoelde iets anders te vragen.
Stel ik vraag een niet statistisch onderlegd persoon de volgende vraag:
Hoe goot is de kans op vijf of minder keer kop als ik tien keer met een (zuivere) munt werp?
Dan zullen de meeste mensen 50% antwoorden.
In mijn beleving is dit ook het juiste antwoord.

Als ik in Excel invoer: =BINOMIALE.VERD(5;10;0,5;WAAR), waarbij:
5 = aantal keer succes = cumulatieve kans op 5 of minder keer kop
10 = aantal worpen
0,5 = kans op succes
WAAR = cumulatief
is het antwoord 63% (hetgeen dus geen 50% is).

Ik krijg overigens wel het 'juiste' antwoord bij een oneven aantal worpen.

Dus concreet: waarom geeft Excel 63% i.p.v. de verwachte 50%?

[Safe]

In feite heb je het antwoord (en je hebt het zelf berekend). Bovendien bij een oneven aantal worpen klopt je verwachting!
0 t/m 4 geeft dezelfde kans als 6 t/m 10, zie je het verband?

Bij 11 worpen: 0 t/m 5 en 6 t/m 11 zijn zelfde kansen, duidelijk?

[SixSigma]

Yep, dat begrijp ik.
Volgens mij past filosofie beter bij mij dan statistiek.

De kans dat op 5 of minder keer kop bij 10 worpen is 63% en dus de kans op munt 37%.
Maar stel nu dat ik kop munt noem en munt kop.
Dan is de kans dat op 5 of minder keer munt bij 10 worpen is 63% en dus de kans op kop 37%.

Dit is een tegenstrijdigheid.

Wat ik wel begrijp is dat bij tien worpen er 11 mogelijkheden zijn (0 keer kop kan ook).

Mogelijk moet ik de uitkomst maar accepteren en het gedachte-experiment vergeten.

[Safe]

In ieder geval moet je meer op je berekende uitkomsten vertrouwen!

Maar je moet ook de logica zien en dus is de kans 0 t/m 5 (6 gebeurtenissen) groter dan 6 t/m 10 (5 gebeurtenissen).

[SixSigma]

Hartstikke bedankt SafeX

[Safe]

Ok, succes verder.

[blackreds]

Ik denk dat het normaal is dat je soms twijfelt, daarom dat ze zeggen dat statistiek wel eens 'counter-intuitive' is. Zie ook bijv. het Monty hall probleem (of driedeurenprobleem). Je zou in eerste instantie een kans van 50% verwachten, maar nadat je een simulatie laat lopen (of je doet berekeningen) blijkt het 2/3 te zijn.