Roosterpuntdriehoek [15+]

[op=op]

Te bewijzen is dat

\(\left\{\begin{matrix} y_1z_2-y_2z_1=u\\ x_1z_2-x_2z_1=v\\ x_1y_2-x_2y_1=w \end{matrix}\right.\)

oplossingen heeft voor elke (u,v,w).

We mogen aannemen dat ggd(u,v,w)=1.
(Stel niet en ggd = k, los dan eerst op voor u/k,v/k.w/k en vermenigvuldig x,y,z met index 1 met k).

We mogen aannemen dat ggd(v,w)=1.
(Stel niet en ggd = k, y2 maal 2-de verg. minus z2 maal 3-de vergelijking geeft dat x2 door k deelbaar is of (zie 1-ste verg. dat u deelbaar is door k (en dat mag niet).
Analoog is x1 deelbaar door k, zodat we eerst u,v/k,w/k oplossen en dan de x1 en x2 met k verm.).

Kies x1=x2=1.
Uit de 3-de verg. volgt y1=y2+w
en uit de 2-de verg. volgt z2 = z1 + v
Substitueren in de eerste verg. geeft vy1 - wz1 = u.
ggd(v,w)=1, zodat er y1 en z1 is zo dat vy1-wz1 = 1.
y1 en z1 met u vermenigvuldigen en de rest is duidelijk.

[barto]

Nice!
Zullen we gewoon aannemen dat het ook klopt voor hogere dimensies of dat ook bewijzen?

[op=op]

Zullen we gewoon aannemen dat het ook klopt voor hogere dimensies of dat ook bewijzen?

Met

\(y\)

bedoel ik in het voorgaande 3-dim. geval de kolomvector

\((y_1,y_2)^t\)

en in het n-dim. geval

\((y_1,\cdots,y_n)^t\)

.
In 3 dimensies hadden we de vectoren

\(x,y,z\)

.
In n dimensies noem ik de vectoren

\(x1,\cdots xn\)

.
In dim 3 hadden we nog de getallen

\(u,v,w\)

, die in n dim. worden

\(u(1),\cdots,u(n)\)

.

We maken een speciale vector

\(q = (u(n),-u(n-1),u(n-2),-u(n-3),\cdots,\pm u(1))\)

.

Als we een oplossing in gehele getallen kunnen vinden voor de vectoren

\(x1,\cdots xn\)

van de matrixvergelijking

\((x1,\cdots xn) q = 0\)

, dan zijn we klaar.

Dat is als volgt te zien:
Plaats boven bovengenoemde matrix een rij van enen, en pas de regel van Cramèr toe.
(Noem de onderdeterminant corresponderend met

\(q[k]\)

,

\(q[k]'\)

).
Dat levert een lineair stelsel op met een vrijheidsgraad.
Een van de oplossingen is

\(q[k]=q[k]'\)

en daar alle getallen in de matrix gehele getallen zijn is de matrix zodanig te verminigvuldigen dat aan

\(q[k]=q[k]'\)

is voldaan).

[barto]

Analoog aan jouw bewijs, maar niet volledig...
(ook hier

\(x=u(1);y=u(2);z_1=u(3)_1\)

) en we werken in dimensie n.

Te bewijzen is dat

\(\left\{\begin{matrix} \begin{vmatrix} u(2)_1& u(3)_1&... &u(n)_1 \\ u(2)_2&u(3)_2 &... & u(n)_2\\ ...&...&... & ...\\ u(2)_n&u(3)_n&...&u(n)_n \end{vmatrix}=k_1\\ \\ \begin{vmatrix} u(1)_1& u(3)_1&... &u(n)_1 \\ u(1)_2&u(3)_2 &... & u(n)_2\\ ...&...&... & ...\\ u(1)_n&u(3)_n&...&u(n)_n \end{vmatrix}=k_2\\ \\ ...\\ \\ \begin{vmatrix} u(1)_1& u(2)_1&... &u(n-1)_1 \\ u(1)_2&u(2)_2 &... & u(n-1)_2\\ ...&...&... & ...\\ u(1)_n&u(2)_n&...&u(n-1)_n \end{vmatrix}=k_n \end{matrix}\right.\)

oplossingen heeft voor elke

\((k_1,...,k_n)\)

(Stel voor de gemakkelijkheid de m-de matrix in de n-de dimensie gelijk aan

\(M(n,m)\)

.)

We mogen aannemen dat

\(ggd(k_1,...,k_n)=1\)

.
(Stel niet en ggd=m, los dan op voor

\(k_i/m\)

en vermenigvuldig alle

\(u(i)_1\)

met m, of dus alle

\(|M(n,i)|\)

met m en je bent klaar.)

Dan bewijs je met inductie dat je mag aannemen dat

\(ggd(k_{i_1},k_{i_2},...,k_{i_m})=1\)

met m afdalend vanaf n-1 tot 2.
Stel dat het waar is voor m. (En neem zonder verlies van algemeenheid

\(i_j=j\)

.)
Stel dat het niet waar is voor m-1, dus

\(p|ggd(k_1,...,k_{m-1})\)

met p een priemgetal.
...: de grootste stap in het inductie-gedeelte. Het komt er op neer dat je probeert te bewijzen dat er nog minstens één van

\(k_m,...,k_n\)

deelbaar is door p. Ik geraak er niet (onmiddellijk) uit, maar het moet ook iets zijn zoals op=op deed.

[op=op]

Wat bewezen moet worden is dat er bij elke gegeven n-dim. vector b van gehele getallen
er een (n-1)xn matrix van gehele getallen A bestaat zo dat Ab=0.

Je hebt zoveel keuze dat ik vermoed dat het altijd kan.

[barto]

Je hebt zoveel keuze dat ik vermoed dat het altijd kan.

Zo dacht ik er ook over.
Nu hebben we het nog niet gehad over de situatie waar meer dan 2 punten gegeven zijn.
Neem de punten (0,0), (a,b), (c,d) en we willen de inhoud van het viervlak door (x,y) minimaliseren, i.f.v (a,b,c,d).

[barto]

Nu hebben we het nog niet gehad over de situatie waar meer dan 2 punten gegeven zijn.
Neem de punten (0,0), (a,b), (c,d) en we willen de inhoud van het viervlak door (x,y) minimaliseren, i.f.v (a,b,c,d).

Neem maar 3 coördinaten per punt, dat zal beter zijn.
Maar het komt niet mooi uit:
Te minimaliseren is

\(\frac16\begin{vmatrix} 0 &0 &0 &1 \\ x_1 & y_1 & z_1 &1 \\ x_2& y_2 &z_2 &1 \\ a & b &c & 1 \end{vmatrix}\)

Wat geeft

\(\frac16ggd(y_1z_2-y_2z_1,x_2z_1-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1)\)

als minimum

[barto]

Het algemene probleem (met twee vaste punten, maar in een willekeurige dimensie) heb ik hier gepost en ondertussen zelf ook kunnen oplossen
http://math.stackexchange.com/questions/1411324