afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie

[HansH]

Is je specifieke vraag nu hoe je exact het ruimtetijd interval vanuit eerste principes van de speciale relativiteitstheorie afleidt? Het ruimtetijdinterval tussen twee gebeurtenissen is de eigentijd zoals deze gemeten wordt door een inertiaalklok die aanwezig is bij beide gebeurtenissen. Als je dit toepast op het gedachtenexperiment met de lichtklok, dan vindt je exact de vorm van dit interval.

Je bedoelt alleen voor een lichtstraal begrijp ik. dat had ik hier ergens op het forum al ooit afgeleid en gepost, maar kan het zo snel niet vinden. maar de vraag is dus hoe je kunt afleiden dat het algemeen geldt dus voor een bewegende massa die met een wllekeurige snelheid beweegt tov een waarnemer.

[wnvl1]

Ik heb geen natuurkunde gestuurd, maar ik associeer basiskennis ART qua workload met een hoofdvak binnen een richting ir elektronica. Uiteraard ook vertrekkend van een voorkennis differentiaal- en integraalrekening, beetje lineaire algebra, en heel wat klassieke mechanica.

[flappelap]

Laten we het argument herhalen waarbij we c = 1 nemen. We hebben een lichtklok waarbij de spiegels L meter uit elkaar staan, waartussen een foton heen en weer kaatst. De klok is zodanig gekalibreerd dat we een tijdsinterval van \(2L\) (2L/c) meten tussen vertrek en aankomst van het foton bij (zeg) de onderste spiegel. De lichtklok definieert een stelsel, en het thuisframe ziet de klok voorbij komen met een snelheid v.

Neem nu 2 gebeurtenissen A en B. In het zgn thuisframe zijn de coordinaat- en ruimtelijke verschillen tussen A en B

\( \{\Delta t, \ \ \ \Delta d\} \)

We laten ook een lichtklok tussen A en B bewegen, waarbij het foton loodrecht beweegt op de bewegingsrichting van de klok. We nemen bovendien aan dat gebeurtenissen A en B overeenkomen met het vertrek en terugkeer van het foton bij (zeg) de onderste spiegel. In het inertiaalstelsel van de lichtklok meet de klok die bij A en B aanwezig is per definitie het ruimtetijd-interval dat gelijk is aan de verstreken coördinatentijd tussen A en B. Dus

\( \Delta s = 2L \)

Met de stelling van Pythagoras kun je berekenen dat volgens het thuisframe het foton een zigzag-pad aflegt met afstand

\( \sqrt{(2L)^2 + (\Delta d)^2} \)

waarbij \(\Delta d\) de ruimtelijke afstand is die het thuisframe meet tussen A en B. Volgens het eerste postulaat van de SRT geldt volgens het thuisframe dan

\( \Delta t = \sqrt{(2L)^2 + (\Delta d)^2} \)

Maar 2L is gelijk aan het ruimtetijdinterval, dat voor elke waarnemer gelijk is; het is immers de verstreken eigentijd van een klok die bij beide gebeurtenissen aanwezig is (in dit geval in het stelsel van de lichtklok). Dus krijgen we

\( \Delta t = \sqrt{(\Delta s)^2 + (\Delta d)^2} \)

Hieruit volgt

\( (\Delta s)^2 = (\Delta t)^2 - (\Delta d)^2 \)

[flappelap]

Is je specifieke vraag nu hoe je exact het ruimtetijd interval vanuit eerste principes van de speciale relativiteitstheorie afleidt? Het ruimtetijdinterval tussen twee gebeurtenissen is de eigentijd zoals deze gemeten wordt door een inertiaalklok die aanwezig is bij beide gebeurtenissen. Als je dit toepast op het gedachtenexperiment met de lichtklok, dan vindt je exact de vorm van dit interval.

Je bedoelt alleen voor een lichtstraal begrijp ik. dat had ik hier ergens op het forum al ooit afgeleid en gepost, maar kan het zo snel niet vinden. maar de vraag is dus hoe je kunt afleiden dat het algemeen geldt dus voor een bewegende massa die met een wllekeurige snelheid beweegt tov een waarnemer.

Zie hierboven. Dit argument is algemeen.

[HansH]

maar de vraag is dus hoe je kunt afleiden dat het algemeen geldt dus voor een bewegende massa die met een wllekeurige snelheid beweegt tov een waarnemer.

Zie hierboven. Dit argument is algemeen.
[/quote]
maar waarom? je laat het immers alleen voor een lichtstraal zien. of mis ik iets?

[Professor Puntje]

Dank voor de antwoorden!

[wnvl1]

maar waarom? je laat het immers alleen voor een lichtstraal zien. of mis ik iets?

Ik denk dat in het verhaal van Flappelap de lichtstraal symbool staat voor een klok die meebeweegt met het object dat van A naar B gaat. Dat object beweegt niet aan de lichtsnelheid, maar aan snelheid v. Het is dus algemeen.

[wnvl1]

Bovenstaande veralgemening speelt in de berekening van Einstein van de afbuiging weinig rol. Hij stelde ds=0 om de coördinatensnelheid te berekenen. De rest van de berekening gebeurt allemaal in hetzelfde frame. Je kan een parallel trekken tussen zijn berekening en hoe je de afbuiging van radiogolven in de atmosfeer berekent of van EM golven in een glasvezel met variabele brekingsindex. Dat vergt eigenlijk geen relativiteitskennis meer.

[HansH]

maar waarom? je laat het immers alleen voor een lichtstraal zien. of mis ik iets?

Ik denk dat in het verhaal van Flappelap de lichtstraal symbool staat voor een klok die meebeweegt met het object dat van A naar B gaat. Dat object beweegt niet aan de lichtsnelheid, maar aan snelheid v. Het is dus algemeen.

ik zal er nog eens met die insteek doorheen lopen. Een schetsje zou zeker helpen om voor te kunnen stellen wat er gebeurt. ik ben zelf erg visueel ingesteld dus alles in text gaat snel langs mij heen zonder de essentie te zien dus kost me dan veel meer moeite om het te begrijpen.

[HansH]

Bovenstaande veralgemening speelt in de berekening van Einstein van de afbuiging weinig rol. Hij stelde ds=0 om de coördinatensnelheid te berekenen.

na het snappen van de formule voor ds in vlakke ruimtetijd is de volgende stap misschien om te begrijpen hoe je aan ds voor gekromde ruimtetijd komt via die volledige matrix in 4d. Dus waarom die matrix er staat zoals die er staat en waarom je juist die componenten moet gebruiken. die link is mij eigenlijk nog compleet vaag.
https://einsteinrelativelyeasy.com/inde ... ski-metric

[HansH]

Er wordt niets achtergehouden, maar je vertikt het om de video's te bekijken of de boeken te lezen waarin de zaken wel op een fundamentele manier worden uitgelegd. Het moet in hapklare brokken, maar wanneer dat gebeurt is weer niet goed wat dan ontbreken er stappen in de bewijsvoering. Nuchter beschouwd is dit het probleem: de hebt de tijd en inspanning er niet voor over om de benodigde stof te bestuderen maar wil dat niet onder ogen zien en beschuldigt daarom anderen van een gebrek aan communicatieve vaardigheden of onwil om de zaken simpel uit te leggen.

Waar ikzelf wel in geïnteresseerd ben is hoeveel tijd het de leden hier die de ART wel goed begrijpen heeft gekost om die theorie (in basis) onder de knie te krijgen. En welke voorkennis je moet hebben om überhaupt aan een dergelijke poging te kunnen beginnen. Dat geeft dan in grove zin een praktische aanwijzing van wat er minimaal nodig is om uiteindelijk enigszins met de ART te kunnen werken.

ipv zo negatief te denken over anderen is het inderdaad misschien beter om je af te vragen waar het echte probleem zit. Dat is wat je in het 2e stuk zelf al aangeeft: 'welke voorkennis je moet hebben om überhaupt aan een dergelijke poging te kunnen beginnen'
dat is dus zoals flappelap al aangeeft de stof in voorgaande jaren van de studie. Dus domweg zulke boeken proberen door te worstelen en dan steeds weer met zulke kip-ei problemen van ontbrekende kennis te worstelen heb je zoals ik begreep zelf ook al al te vaak meegemaakt met een boekenkast vol van die boeken, maar neem je anderen nu wel kwalijk.

[Gast]

Een van de zaken die ik zou willen snappen aan de basis is hoe je aan het idee van minkowsky ruimte komt. ik ging ervan uit dat dat puur het gevolg was van het feit van c= constant voor alle waarnemers in vlakke ruimtetijd, maar het is blijkbaar het gevolg van een transformatie waardoor alle waarnemers het met elkaar eens zijn. blijkbaar start de theorie met die transformatie als uitgangspunt, maar voor mijn gevoel is dat de omgekeerde volgorde.

Het gebruik van hyperbolische meetkunde heeft zijn wortels in Hermann Minkowski's beschrijving van ruimtetijd met een denkbeeldige tijdcoördinaat, ict. In deze formulering kan een Lorentz-transformatie worden weergegeven door een rotatie van coördinaten over een denkbeeldige hoek, die ook kan worden beschreven als een lineaire transformatie waarbij de hyperbolische sinus en hyperbolische cosinus betrokken zijn. Deze transformatie lijkt op de transformatie van rechthoekige coördinaten in cartesiaanse coördinaten, waarbij gewone trigonometrische functies zijn vervangen door overeenkomstige hyperbolische trigonometrische functies.

Dit is allemaal goed en wel als je alleen maar geïnteresseerd bent in het leren van de speciale relativiteitstheorie. Als men echter de algemene relativiteitstheorie wil bestuderen, heeft die formulering van de speciale relativiteitstheorie geen waarde.
De ART modelleert ruimtetijd met behulp van concepten die een generalisatie zijn van de Riemann-meetkunde, die tangentieel Minkowski-ruimte is (de raakruimte op elk punt van de ruimtetijd manifold).

Nu kun je je hier helemaal in gaan verdiepen en uiteindelijk een "Minkowski-ruimte expert" worden. Wat je niet wilt en ook nergens op zou slaan.

Minkowski-ruimte is ook niet noodzakelijk voor speciale relativiteit, maar wel zo handig.

Waarom zou c niet invariant kunnen zijn bij het gebruik van een Euclidisch ruimtetijd diagram. Het enige verschil daarin zou zijn dat de wereldlijnen van licht niet meer op 45° liggen maar op de x-as.

En dus wat van belang is m.b.t. het begrijpen van relativiteit is waarom het handig is om Minkowski-ruimte te gebruiken. Ofwel wat het nut is van de hyperbolische geometrie van Minkowski-ruimte.

Excuses als ik nu iets zeg wat inmiddels alweer overbodig is. Ik heb de reacties van na deze quotatie slechts heel kort bekeken. Niet eens diagonaalgelezen, maar wel al een paar reacties klaar liggen.

[Gast]

Verder helemaal niet lullig bedoeld, de meeste mensen denken helemaal niet na over zwaartekracht e.d. laat staan in de context van de algemene relativiteitstheorie; "gekromde ruimtetijd".

De leegte van die levens schokt me.

Ja, dat moet echt verschrikkelijk zijn voor die mensen. Best wel raar dat dit het nieuws nooit haalt.

Je gaat je snelheid dusdanig kiezen dat je veel sneller beweegt door de tijd dan door de ruimte. Dan lijkt het mij logisch dat het effect van kromming van tijd groter is dan die van ruimte. Ik vermoed dat als je je assenstelsel kiest zodat je veel sneller door ruimte beweegt dan door tijd dat het andersom is.

("Door de tijd bewegen" is niet helemaal juist om te zeggen, want dat is geen beweging. Maar ik begrijp wat je bedoelt en)

Ja, uiteraard. Geen enkel referentiekader heeft immers de voorkeur boven een andere, in de zin dat ze allemaal dezelfde realiteit kunnen beschrijven.

Er is natuurlijk wel een voorkeur in de zin dat iets gemakkelijker te beschrijven is vanuit het ene frame dan vanuit het andere. In dit geval zou het nogal onhandig zijn een frame te gebruiken die zich met relativistische snelheden door de kosmos raast.
Maar idd, dan zouden de ruimtelijke componenten wel een grote rol van betekenis hebben.

Eigenlijk hetzelfde als waarom voor bij de afbuiging van licht door de zon (of bij wat voor gravitationele lensing dan ook) de ruimtelijke componenten zoveel, precies de helft, bijdragen aan de afbuiging of beweging van het licht/de fotonen.

En de exacte baan van Mercurius rond de zon bijvoorbeeld enkel te wijten is aan de temporale component.

(Misschien begrijp ik het verkeerd, maar ik zie niet hoe een dergelijk frame volgt uit Gauss's law for gravity en vervolgens, neem ik aan, de Poisson vergelijking.)

Ik zie dan ook weinig alternatief dan gebruik te maken van ds=0 om de coördinatensnelheid van licht te berekenen.

Nou, nee een berekening niet. Hoewel, in principe heb je alleen maar gravitationele tijddilatatie nodig. In ieder geval conceptueel gezien zou je simpelweg kunnen zeggen dat wanneer tijd ergens langzamer verloopt, vanwege gravitationele tijddilatatie, snelheden dit ook doen. Voor een externe waarnemer uiteraard.

Zoals het bekende "alles 'bevriest' op de waarnemingshorizon van een zwart gat".

Al zal de tijd voor de externe waarnemer nooit helemaal stil komen te staan, maar waar de tijddilatatie asymptotisch richting oneindig gaat. Waardoor de waarnemingshorizon die daar allang volledig is gevormd nooit op Aarde zal worden geobserveerd noch een verandering daarvan. De meest bizarre misvattingen over die stelling gelezen ook. Maar, off-topic.

Hiermee versimpel ik verder niets. Maar ik leg slechts het principe uit. En het lijkt mij dat, in dit geval HansH, dáár naar op zoek is. Conceptueel begrip. En wat dat betreft kun je m.i. best een stuk meekomen, zonder (gedetailleerde) uitwerkingen.

Voor een daadwerkelijke berekening is dat inderdaad het meest voor de hand liggend. En kan ik me goed voorstellen om het verder ook niet toe te lichten. Tenminste, zolang er niet specifiek naar gevraagd wordt.

[Professor Puntje]

Er wordt niets achtergehouden, maar je vertikt het om de video's te bekijken of de boeken te lezen waarin de zaken wel op een fundamentele manier worden uitgelegd. Het moet in hapklare brokken, maar wanneer dat gebeurt is weer niet goed wat dan ontbreken er stappen in de bewijsvoering. Nuchter beschouwd is dit het probleem: de hebt de tijd en inspanning er niet voor over om de benodigde stof te bestuderen maar wil dat niet onder ogen zien en beschuldigt daarom anderen van een gebrek aan communicatieve vaardigheden of onwil om de zaken simpel uit te leggen.

Waar ikzelf wel in geïnteresseerd ben is hoeveel tijd het de leden hier die de ART wel goed begrijpen heeft gekost om die theorie (in basis) onder de knie te krijgen. En welke voorkennis je moet hebben om überhaupt aan een dergelijke poging te kunnen beginnen. Dat geeft dan in grove zin een praktische aanwijzing van wat er minimaal nodig is om uiteindelijk enigszins met de ART te kunnen werken.

ipv zo negatief te denken over anderen is het inderdaad misschien beter om je af te vragen waar het echte probleem zit. Dat is wat je in het 2e stuk zelf al aangeeft: 'welke voorkennis je moet hebben om überhaupt aan een dergelijke poging te kunnen beginnen'
dat is dus zoals flappelap al aangeeft de stof in voorgaande jaren van de studie. Dus domweg zulke boeken proberen door te worstelen en dan steeds weer met zulke kip-ei problemen van ontbrekende kennis te worstelen heb je zoals ik begreep zelf ook al al te vaak meegemaakt met een boekenkast vol van die boeken, maar neem je anderen nu wel kwalijk.

Ik heb je juist het eenvoudigste boek aangeraden dat ik over de ART ken, en waarmee je toch wat serieuze (beginners)kennis over de ART opdoet. En die video-serie die ik je aanraadde was bedoeld om je te laten zien dat de benodigde theorie voor de volledige ART zo diep gaat dat het een illusie is om daar als leek zonder er serieus mee aan de slag te gaan een beeld van te willen krijgen dat zelfs maar in de buurt komt. Toch blijf je daarnaar zoeken en verdoe je daarmee de jaren die je ook aan serieuze studie had kunnen besteden.

Ik ben daar zelf wel meerdere keren mee begonnen, maar ben ook zelf steeds weer afgehaakt. Toch ben ik zo wel steeds verder gekomen. Uit wat ik nu begrijp lukte het mij niet via het simpelweg doorlezen van een aantal boekwerken omdat ik er te makkelijk over dacht. Ik zou mij er echt maanden lang zo niet een vol jaar in moeten verdiepen inclusief het maken van heel veel oefeningen. Maar het vraagt nogal wat om dat op eigen houtje te doen en vooral om dat vol te houden.

Wat betreft de benodigde voorkennis zou je kunnen proberen om de gevarieerde wis- en natuurkunde raadsels op te lossen die ukster hier geregeld plaatst. Dat is een goeie oefening. Wat je daarvoor nog niet begrijpt blijkt dan vanzelf, en kun je dan eerst bijspijkeren.

Hoe dan ook vormt zelfs een basiskennis van de ART al een hele kluif en niemand zal het je kwalijk nemen als dat niet lukt. Wat ikzelf en ik denk ook anderen hier wel zonde vinden om te zien is dat je je energie blijft steken in het zoeken naar snelle en eenvoudige beelden en kunstgrepen die vrijwel zeker niet bestaan om zo het zware werk te vermijden, en dat je zodoende ondanks je grote inspanningen nauwelijks verder komt.

[HansH]

de waarnemingshorizon die daar allang volledig is gevormd nooit op Aarde zal worden geobserveerd noch een verandering daarvan.

https://www.ligo.caltech.edu/video/ligo20160211v3
hier meen ik toch te zien dat de waarnemingshorizon of in ieder geval het gebied vlak daarbij constant van vorm verandert. hoe zit dat dan?