ellips

[Rik Speybrouck]

Ziet er iemand een oplossing voor dit probleem

[flappelap]

Kun je niet de parametrische vergelijking voor een ellips met assen 5 en 3 gebruiken om te integreren tussen de genoemde hoeken? Dus

\(x(t) = 3 \cos{(t)}, \ \ \ y(t) = 5 \sin{(t)}, \ \ \ \)

De integraal is dan tussen \( t = 30^o = \frac{\pi}{6} \ rad \) en \( t = 60^o = \frac{\pi}{3} \ rad \). De integraal over de hoek schrijf je via

\( \int y(x) dx = \int y(t) \frac{dx}{dt} dt = 15 \int_{(\pi/6)}^{(\pi/3)} \sin^2{(t)}dt \)

Dan nog gebruiken dat

\( \sin^2{(t)} = \frac{1 - \cos{(2t)}}{2}\)

Het invullen en integreren laat ik aan jou over.

[Bart23]

Krijg je dan niet de oppervlakte recht onder de boog op de ellips?
Ik zou eerder overgaan naar integreren met poolcoördinaten:

\(\int_\frac\pi6^\frac\pi3\frac12r^2d\theta=\frac12\int_\frac\pi6^\frac\pi3(9\cos^2\theta+25\sin^2\theta)d\theta=\frac{17}{12}\pi\)

[ukster]

sectoroppervlakte ellips 1236 keer bekeken

[Bart23]

Ik denk dat mijn hoeken niet kloppen. Moet ik nog eens nakijken. Zal zelfde probleem zijn bij de formule die ukster geeft. De theta uit de formule van de parametervgl is niet de hoek waarin we naar het punt kijken.
De uitkomst zal mss eerder iets zijn als

\(\frac{15}{2}\left(Bgtan(\frac35\sqrt{3})-Bgtan(\frac35\frac{\sqrt3}{3})\right)\)

Maar moet het nog eens rustig checken

[ukster]

sectoroppervlakte ellips.png

Θ=π/6

A_sector=π/12*5*3=5/4π
Flappelap geeft hetzelfde resultaat

[Professor Puntje]

Zo?

Je kunt er een cirkelschijf van maken door de verticale coördinaat te krimpen met een factor k=3/5 . Dan gaat E in E' over, en F in F'. En heb je:

E'O = k.EO
F'O = k.FO

Dus:

\( \tan( \angle E'OD) = \mathrm{k} \tan( \angle EOD ) \)
\( \tan( \angle F'OD) = \mathrm{k} \tan( \angle FOD ) \)

\( \angle E'OD = \arctan(\mathrm{k} \tan( \angle EOD )) \)
\( \angle F'OD = \arctan(\mathrm{k} \tan( \angle FOD )) \)


\( \mathrm{Opp}(\mathrm{E'OF'}) = \frac{ \angle F'OD - \angle E'OD}{2 \pi} \cdot \pi \mathrm{OD}^2 \)

\( \mathrm{Opp}(\mathrm{E'OF'}) = \frac{ \angle F'OD - \angle E'OD }{ 2 } \cdot \mathrm{OD}^2 \)

\( \mathrm{Opp}(\mathrm{E'OF'}) = \frac{1}{2} \{ \arctan(\mathrm{k} \tan( \angle FOD )) - \arctan(\mathrm{k} \tan( \angle EOD )) \} \cdot \mathrm{OD}^2 \)

\( \mathrm{Opp}(\mathrm{EOF}) = \frac{1}{2 \mathrm{k}} \{ \arctan(\mathrm{k} \tan( \angle FOD ) ) - \arctan(\mathrm{k} \tan( \angle EOD )) \} \cdot \mathrm{OD}^2 \)

[Bart23]

Dat komt dan overeen met mijn (tweede) antwoord. Decimaal: 3.5337
De formule van ukster is denk ik wel juist, maar de hoek theta heeft een andere betekenis, dit is de eccentrische hoek.

[Professor Puntje]

Je kunt er een cirkelschijf van maken door de verticale coördinaat te krimpen met een factor k=3/5 . Dan gaat E in E' over, en F in F'. En heb je:

E'O = k.EO
F'O = k.FO

Dat is niet juist, het moet zijn:

Je kunt er een cirkelschijf van maken door de ellips in verticale richting (dat is de y-richting) te krimpen met een factor k=3/5. Dan gaat E in E' over, en F in F'. En heb je:

y_E' = k.y_E
y_F' = k.y_F

[HansH]

Je kunt er een cirkelschijf van maken door de verticale coördinaat te krimpen

dat was ook het eerste waar ik aan dacht. oppervlak schaalt dan ook met die krimp dus een transformatie.

[Professor Puntje]

Ja - spaart weer een integraal uit.

[Rik Speybrouck]

Dat komt dan overeen met mijn (tweede) antwoord. Decimaal: 3.5337
De formule van ukster is denk ik wel juist, maar de hoek theta heeft een andere betekenis, dit is de eccentrische hoek.
Schermafbeelding 2025-02-26 232437.png

Bart, ik denk dat jou antwoord juist is hoor, ik heb vandaag het probleem op 2 verschillende wijzen opgelost en ik kom 2 maal jouw waarde uit. Ik moet alles nog proper op papier zetten om het on line te zetten, zal morgen zijn

[ukster]

Ellipse Sector Area 1084 keer bekeken

Het maakt niet uit of a=3, b=5 of a=5, b=3

[flappelap]

Ellipse Sector Area.png

Het maakt niet uit of a=3, b=5 of a=5, b=3

Zoiets valt al op basis van de eenheden te vermoeden: het oppervlak moet immers recht evenredig zijn met ab om de eenheden juist te laten zijn.

[Gast]

Dat komt dan overeen met mijn (tweede) antwoord. Decimaal: 3.5337

Dit klopt iig met mijn handmatige constructie van dit probleem in CAD software