maximum probleem

[Rik Speybrouck]

Probleem met 2 cylinders gevat in een kegel. De nodige uitleg staat op de foto in bijlage

[wnvl1]

Eerste stap is inderdaad het maximale volume van de bovenste cilinder bepalen als de hoogte van de onderste cilinder x is.

[ukster]

ik heb de aparte maximale volumes berekend, bij elkaar opgeteld en het antwoord komt overeen met jouw antwoord

[Rik Speybrouck]

klopt hoor maar dit zou niet het maximum zijn het schijnt dat er een koppeling moet gebeuren van de twee cylinders om het echte maximum te halen zie opm van wnvl1

[wnvl1]

Een mooie uitbreiding zou zijn om nadien een formule op te stellen voor n cilinders in een kegel...

[Xilvo]

Heb je maar één cilinder, dan is het volume maximaal bij een hoogte van 1/3 van de kegelhoogte.
Dat moet dus zeker voor de bovenste cilinder gelden.
Je houdt dan maar één variabel over, de hoogte van de onderste cilinder.

[Xilvo]

Een mooie uitbreiding zou zijn om nadien een formule op te stellen voor n cilinders in een kegel...

Ik denk dat mijn ideetje iteratief uitgebreid kan worden.
Eén cilinder, volume maximaal bij hoogte 1/3 van de kegelhoogte.
Twee cilinders, de bovenste cilinder heeft een hoogte van 1/3 van de hoogte die rest als de hoogte van de onderste cilinder van de cilinderhoogte is afgetrokken. Daaruit volgt een hoogte van de onderste cilinder waarbij het volume van beide cilinders maximaal is. Die verhouding ligt vast. Ook als je een derde cilinder eronder wil plaatsen.
Zo kan je doorgaan.

[Bart23]

Voor 2 cilinders en een kegel met straal R en hoogte H kom ik alvast uit op

\(\frac{108}{529}\pi HR^2\)

Voor R=12 en H=24 is dat 2216.622

[Xilvo]

Voor 2 cilinders en een kegel met straal R en hoogte H kom ik alvast uit op

\(\frac{108}{529}\pi HR^2\)

Voor R=12 en H=24 is dat 2216.622

Daar kom ik ook op uit. De hoogte van de onderste cilinder is dan 5,21740 cm en de hoogte van de bovenste 6,26087 cm.

[Bart23]

Voor 3 cilinders, als geen rekenfout gemaakt heb, vind ik:

\(\frac{2^2\cdot23^4}{3^3\cdot421^2}\pi HR^2\)

@Xilvo: je iteratief systeem kan ik niet helemaal volgen. Welke verhouding ligt vast?
Op een algemene (elegante) formule voor n (of oneindig veel) cilinders heb ik toch niet direct een zicht, maar je kan het wel berekenen met steeds meer werk.

[Xilvo]

Voor 3 cilinders, als geen rekenfout gemaakt heb, vind ik:

\(\frac{2^2\cdot23^4}{3^3\cdot421^2}\pi HR^2\)

Ik ga eens kijken of ik numeriek een gelijk resultaat vind.

@Xilvo: je iteratief systeem kan ik niet helemaal volgen. Welke verhouding ligt vast?
Op een algemene (elegante) formule voor n (of oneindig veel) cilinders heb ik toch niet direct een zicht, maar je kan het wel berekenen met steeds meer werk.

1 cilinder: volume maximaal als de hoogte 1/3 van de cilinderhoogte is.
2 cilinders: Je weet hoe groot de bovenste cilinder moet zijn, op de "schaal" na: 1/3 van de hoogte boven de onderste cilinder. De enige variabele is de hoogte van de onderste cilinder en die kun je dan zo kiezen dat zijn volume plus die van de bovenste samen maximaal zijn. Dan krijg je een verhouding van die twee hoogtes. En die is onafhankelijk van de grootte van de kegel.
3 cilinders: Hoe alles boven de derde cilinder er moet uitzien is bij het vorige probleem vastgesteld. Je weet de verhouding tussen hoogte cilinder 1 en cilinder 2. Alles ligt vast behalve de "schaal". Die wordt bepaald door de hoogte van de derde cilinder. Alweer maar één variabele waarmee je het totale volume kunt maximaliseren.
Of dat een algemene makkelijke formule oplevert? Geen idee. Maar in principe is het een simpele set van stappen die je moet doorlopen.

[Bart23]

Bij nader inzien toch een niet al te moeilijke formule gevonden die coëfficiënt bij pi*HR² voor n cilinders bepaalt uit de vorige (n-1) cilinders.
Maar ik moet nu dringend weg dus kan ik niets spoilen

[Xilvo]

Maximaal volume:
1 cilinder:
1608,4954
2 cilinders:
2216,6223
3 cilinders:
2539,6098
4 cilinders:
2740,6712
5 cilinders:
2878,1336

Het resultaat voor drie cilinders komt overeen met het antwoord van Bart23.

[Bart23]

Zij het maximaal volume bij n cilinders

\(V_n=c_n\pi HR^2\)

Dan geldt

\(c_1=\frac{4}{9}\)

en

\(c_n=\frac{4}{27\left(1-c_{n-1}\right)^2}\)

[Bart23]

typo:

\(c_1=\frac{4}{27}\)

De rij {c_n} is stijgend en naar boven begrensd (door 1/3) - kan je bewijzen als eenvoudige oefening. De rij moet dus convergeren. De limietwaarde moet voldoen aan

\(c=\frac{4}{27(1-c)^2}\Leftrightarrow 27c^3-54c^2+27c-4=0\Leftrightarrow 27(c-\frac{1}{3})^2(c-\frac{4}{3})=0\)

waarbij 1/3 de enige zinvolle oplossing is (wegens bovengrens).
Dat is natuurlijk nogal wiedes, want uiteindelijk zijn we door meer en meer optimale cilinders in te schrijven in de kegel gewoon een Riemannsom aan het maken voor de inhoud van de kegel.