[wiskunde] meetkunde met vectoren 2

[Valerion]

Dag allemaal

Ik loop vast bij de volgende oefening.

Opgave: Gegeven een vlak alfa: x - 2y + 3z + 1 =0 en de punten P(-1, -1, 1) en Q(2, 3, 6). Bepaal het punt R dat op vlak alfa ligt zodat de driehoek PQR gelijkbenig is met tophoek R.

Mijn poging:

Ik zie niet wat ik nog meer kan halen uit de opgave. Ik heb nog zeker één vergelijking nodig lijkt mij.
Ik werk volgens mij wel al in de goeie richting. Wat zie ik over het hoofd?


Groetjes!


Valerion

[wnvl1]

R ligt op de snijlijn van het middelloodvlak van PQ en alfa. Er is geen eenduidige oplossing lijkt mij.

[Valerion]

Oei, dat ben ik nog nooit tegengekomen in mijn cursus. Maar ik zal natuurlijk wel een poging doen.

Ik moet eerst het middelloodvlak bepalen. Dit is een vlak waar het punt R op ligt maar ook het middelpunt van de lijnstuk PQ. Dat middelpunt is volgens mij ( 1/2 , 1, 7/2). De richtingsvector van het lijnstuk PQ heeft component ( 3,4,5) en staat normaal op het middelloodvlak.

Het middelloodvlak heeft dus als vergelijking: 3x + 4y + 5z +d = 0, na invullen van punt m vind ik d = -23 terug.
Dus de vergelijking van het middelloodvlak is 3x + 4y + 5z -23 = 0

Voor de snijlijn geldt: vlak alfa = middelloodvlak

Vergelijking 1: x-2y+3z + 1 = 0
Vergelijking 2: 3x + 4y + 5z - 23 = 0

Ik heb dan twee vergelijkingen en drie onbekendes dan ga ik een vrije variabele over hebben.

Stel: y = k, en ik los bovenstaande op naar x en z dan krijg ik

x = (37-11k)/2
y = k
z = (-13+5k)/2

Waarbij dat x, y, z de coördinaten zijn van R

[Valerion]

En wat als de opgave nu was. Gegeven een vlak alfa: x - 2y + 3z + 1 =0 en de punten P(-1, -1, 1) en Q(2, 3, 6). Bepaal het punt R dat op vlak alfa ligt zodat de driehoek PQR gelijkzijdig is?

Klopt het volgende dan:

Afstand PQ = afstand PR = afstand QR = 5*√2
Afstand PR = (x+1)² + (y+1)² + (z-1)²
Afstand QR = (x-2)² + (y-3)² + (z-6)²


Ik zoek naar het punt r op het vlak alfa: x - 2y + 3z +1 = 0 wanneer ook voldaan is aan het gelijkzijdig zijn:
Dus:

Vergelijking 1 : (x+1)² + (y+1)² + (z-1)² - 5*√2 = 0
Vergelijking 2: (x-2)² + (y-3)² + (z-6)² - 5*√2 = 0
Vergelijking 3: x - 2y + 3z +1 = 0

Oplossen geeft: Geen oplossing volgens mijn telmachine. (Klopt dat?)

Dit lijkt overeenkomen met wat ik zie op Geogebra.

[vijv]

Je bent de vierkantswortel vergeten bij vgl 1 en 2. Het is echter makkelijker om de vierkantswortel niet te nemen en dan kwadraad van de afstand tuseen P en Q te nemen. Je krijgt dan 2 sets van vgl

Set 1
Vergelijking 1 : (x+1)² + (y+1)² + (z-1)² - 50 = 0
Vergelijking 2: (x-2)² + (y-3)² + (z-6)² - 50 = 0
Vergelijking 3: x - 2y + 3z +1 = 0

Set 2
Vergelijking 1 : (x+1)² + (y+1)² + (z-1)² + 50 = 0
Vergelijking 2: (x-2)² + (y-3)² + (z-6)² + 50 = 0
Vergelijking 3: x - 2y + 3z +1 = 0

Dan vgl oplossen naar z, invullen in vgl 1 en 2, uitwerken,dan vgl 2 aftrekken van vgl 1.
Er vallen dan heel wat termen weg; Deze vgl oplossen naar x of Y en invullen in vgl 1 of 2.

Idem voor set 2 en je hebt dan twee oplossingen.

[Valerion]

Je bent de vierkantswortel vergeten bij vgl 1 en 2. Het is echter makkelijker om de vierkantswortel niet te nemen en dan kwadraad van de afstand tuseen P en Q te nemen. Je krijgt dan 2 sets van vgl

Set 1
Vergelijking 1 : (x+1)² + (y+1)² + (z-1)² - 50 = 0
Vergelijking 2: (x-2)² + (y-3)² + (z-6)² - 50 = 0
Vergelijking 3: x - 2y + 3z +1 = 0

Set 2
Vergelijking 1 : (x+1)² + (y+1)² + (z-1)² + 50 = 0
Vergelijking 2: (x-2)² + (y-3)² + (z-6)² + 50 = 0
Vergelijking 3: x - 2y + 3z +1 = 0

Dan vgl oplossen naar z, invullen in vgl 1 en 2, uitwerken,dan vgl 2 aftrekken van vgl 1.
Er vallen dan heel wat termen weg; Deze vgl oplossen naar x of Y en invullen in vgl 1 of 2.

Idem voor set 2 en je hebt dan twee oplossingen.

Ik kom dan uit: x = -3,87531 , y = 6.91048 en z = 5.56542 en x = 5.19435 , y = 2.64919 , z = -0.298657

[Valerion]

Ik kom dan uit: x = -3,87531 , y = 6.91048 en z = 5.56542 en x = 5.19435 , y = 2.64919 , z = -0.298657

Ik had ergens een typfout gemaakt of het rekenmachine.

Ik kom de punten (5.01727,2.45142,-0.37459) en (4.68388,4.21525,4.03813) uit