[wiskunde] Massa berekening m.b.v. triple integraal

[Valerion]

Dag allemaal

Ik heb een vraag de volgende oefening.
Opgave: Bereken de massa van een bol met straal a waarbij de massadichtheid ρ(x,y,z) in ieder punt evenredig is met de afstand tot het xy-vlak dat gaat door het middelpunt van de bol. (Antwoord: m = 0.5*k*π*a⁴)

Mijn poging tot de oplossing:

Ik maak gebruik van de bolcoördinaten omdat er bolsymmetrie is.

De integratiegrenzen en het voorschrift voor ρ(x,y,z) lijken mij oke , maar mijn rekenmachine geeft toch gewoon 0 terug.
Waarom gebeurt dit?

Kan het dat ρ(x,y,z) niet gelijk is aan k*r*cos(φ) maar wel aan k* abs(r*cos(φ))? (Ik kom dan wel juist uit, maar weet niet zeker of dit toevallig is of niet)


Groetjes!


Valerion

[wnvl1]

Dat kan je doen, een andere fout is dat de sinus gekwadrateerd moet worden.
Of evt phi van -pi/2 tot pi/2 integreren.

[Valerion]

Dat kan je doen, een andere fout is dat de sinus gekwadrateerd moet worden.

Oei, ik dacht het enkel de " r " voor de sin(φ) kwadrateren was. Mij cursustekst geeft dat ook zo aan.
Als ik de sin(φ) kwadrateer en vervolgens opnieuw de massa bepaal ( φ-grenzen van -π/2 tot π/2) dan kom ik op m = k*π*a⁴/3 uit. (maar ik zou k*π*a⁴/2 moet uitkomen)

[wnvl1]

Ik moet nog eens proberen, maar in de oppervlakte van een cirkel evenwijdig met het xy vlak zit toch

$$\pi r^2 sin^2 \phi$$

Maar je mag dan wel niet meer integreren over r.

[wnvl1]

Zo is het gemakkelijker, denk ik.

$$ 2 \int_0^r k z \pi (r^2-z^2) dz$$

Je kan eventueel nog omzetten naar bolcoördinaten, maar dat maakt het alleen maar moeilijker.