maximum

[ukster]

de noemer heeft een minimale waarde van 0,5 bij Θ=1,892546883 rad
de teller heeft bij deze hoek de waarde 1,61
De maximale waarde van de functie T(Θ) is daar dus 1,61/0,5=3,22 en dat klopt

maximum functie 0-2pi (1) 1194 keer bekeken

volgens mij hebben wij het over hetzelfde punt (misschien zijn de waarden wat afgerond)
de grafiek laat zien dat er geen ander maximum in de buurt is.

[Emveedee]

Er is een andere theta waarvoor de waarde van T groter is, nl. bij theta= 1.8713125... is T= 3.234743.... Het punt dat je gevonden hebt is dus simpelweg géén (lokaal) maximum.

[Emveedee]

volgens mij hebben wij het over hetzelfde punt (misschien zijn de waarden wat afgerond)

de grafiek laat zien dat er geen ander maximum in de buurt is.

Naar aanleiding van je bewerking nog een post. Je hebt een punt gevonden dat, hoewel het dicht in de buurt van het maximum is, niet het maximum is.
 
Zie bijvoorbeeld deze functie:

\(f(x) = \frac{(x(x-\pi))^2}{5+\sin(x)}\)

 
De functie f heeft een lokaal maximum in x=pi/2, ondanks dat zijn noemer daar ook een maximum heeft! Dat de noemer minimaal is niet voldoende voorwaarde voor het vinden van een maximum.

[ukster]

Je hebt helemaal gelijk.

maximum 1193 keer bekeken

Maple geeft voor het maximum van T(Θ) de waarde 3,234743732 bij de hoek Θ=1,871308793 rad
Maple geeft voor het minimum van de noemer de hoek                                    Θ=1,892546881 rad
Inderdaad akelig dicht bij elkaar.... maar daarmee ook meteen bewezen dat noemer minimaal geen voorwaarde is voor het vinden van een maximum als de teller geen constante is.
 
dank voor jullie bijdrage
 
 

[Professor Puntje]

dank voor jullie bijdrage

 
En jij bedankt voor je topic, dat zijn altijd leuke uitdagingen.
 
(Het bewijzen van het supremum van T(Θ) met heel R⁺ als domein lijkt me overigens nog best lastig. Ik vermoed dat we dan max(teller)/min(noemer) krijgen...)

[ukster]

Inderdaad, teller(max) en noemer(min) zouden daar moeten samenvallen!
in de grafiek lijkt het resultaat 4 te zijn!

supremum 1193 keer bekeken

 

[Professor Puntje]

Maar het is de vraag of een lokaal maximum van de teller en een lokaal minimum van de noemer wel ooit precies voor een zelfde argument Θ optreden?

[ukster]

Als er periodiciteit in zit moet dit toch een veelvoud zijn van een waarde in de eenheidscirkel zou je zeggen..

[Professor Puntje]

Maar die wortel dan...

[ukster]

Tja, dit wijst niet echt op periodiciteit! een mogelijk oplossing is dan ver te zoeken

niet periodiek 1194 keer bekeken

[Professor Puntje]

Je kunt in principe wel de oplossingsverzameling van de argumenten voor maxima van de teller en de oplossingsverzameling van de argumenten voor de minima van de noemer berekenen en dan onderzoeken of hun doorsnede al dan niet leeg is.

[ukster]

iets voor een regenachtige zondagmiddag misschien?
de noemer is in elk geval periodiek en heeft het minimum op 1/2.
OV [Θ=(1,892546881rad ± k2π)]
Nu nog de OV van de maxima van de teller!
en de doorsnedeverzameling en klaar is Kees...

doorsnede 1193 keer bekeken

periodiek 1193 keer bekeken

[Professor Puntje]

Laat de tellerfunctie τ gedefinieerd zijn als:
 

\( \tau(x) = 2 \cos^3(1 - \sqrt{x}) \)

 
Dan moet x groter of gelijk aan nul zijn. Dus bestrijkt 1 - √x het interval (-∞,1] . De maxima treden dus op voor:
 

\( 1 - \sqrt{x} = -2 k \pi \,\,\, \mbox{met} \,\,\, k \in \mathbf{N} \)

 

\( -1 + \sqrt{x} = 2 k \pi \,\,\, \mbox{met} \,\,\, k \in \mathbf{N} \)

 

\( \sqrt{x} = 1 + 2 k \pi \,\,\, \mbox{met} \,\,\, k \in \mathbf{N} \)

 

\( x = (1 + 2 k \pi)^2 \,\,\, \mbox{met} \,\,\, k \in \mathbf{N} \)

[ukster]

dus de laatste regel is de OV van de maxima van de teller
 

\( x = (1 + 2 k \pi)^2 \,\,\, \mbox{met} \,\,\, k \in \mathbf{N} \)

en dan de doorsnedeverzameling bepalen met OV [Θ=(1,892546881rad ± k2π)]
ik heb zomaar het gevoel dat de oplossing nabij is!

[Professor Puntje]

Ja - dat zijn de argumenten waarvoor de teller maximaal is. Maar we hebben ook de exacte argumenten nodig waarvoor de noemer minimaal is.