De integraal van 1/(x^2+1)

[Mafkees]

De integraal van 1/(z^2+1) is de arctan z. Maar als ik diezelfde integraal uitreken via breuksplitsen, dan kom ik steeds verkeerd uit.
 

 
Dit is hoe de complexe vorm van de arctan eruit ziet volgens Wolfram Alpha, maar ik kom elke keer uit op iz - 1 ipv 1 - iz in de 1e ln.

[EvilBro]

Het klinkt alsof je ergens een minteken vergeet...

\(\frac{1}{1 + z^2} = \frac{1}{1^2 - (i z)^2} = \frac{1}{(1 - i z)(1 + i z)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1 - i z} + \frac{1}{1 + i z}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{-1}{i z - 1} + \frac{1}{1 + i z}\right)\)

[Mafkees]

Dat zal het wel zijn dan.

[Mafkees]

1/(z²+1) = .5i * (1/(z+i) - 1/(z-i))
 
.5i * ∫(1/(z+i) - 1/(z-i))dz = .5i * (ln(z + i) - ln(z - i) + C = .5i * (ln(iz-1) - ln(iz+1)) + C
 
Ik zie nog steeds niet waar 't fout gaat.

[EvilBro]

\(\log(-z) = \log(i^2 \cdot z) = \log(z) + \log(i^2) = \log(z) + i \pi\)

Dus:

\(\log(i z - 1) = \log(-(1 - i z)) = \log(1 - i z) + i \pi\)

De constante aan het einde kun je onderbrengen in de constante C.
Het verschil tussen beide vormen is dus slechts een constante. Beide vormen zijn dus een primitieve.

[Mafkees]

\(\log(-z) = \log(i^2 \cdot z) = \log(z) + \log(i^2) = \log(z) + i \pi\)

Dus:

\(\log(i z - 1) = \log(-(1 - i z)) = \log(1 - i z) + i \pi\)

De constante aan het einde kun je onderbrengen in de constante C.

Het verschil tussen beide vormen is dus slechts een constante. Beide vormen zijn dus een primitieve.

 
Ah, kijk nu snap ik 'm! Dankje.Ik dacht dat d'r altijd maar één integraal mogelijk was.

[tempelier]

 
Ah, kijk nu snap ik 'm! Dankje.Ik dacht dat d'r altijd maar één integraal mogelijk was.

Het woord dat je gebruikt is eigenlijk al verkeerd.
 
Het juiste woord is primitieve en meestal is er een klasse van primitieven waarvan men slordiger weg er maar eentje vermeldt.
 
dus de primitieve van 1 is x+c (met c uit R)  en x is een representant uit de klasse x+c.