[wiskunde] [Lineaire algebra] - Lineaire onafhankelijkheid en voortbrengendheid

[Dries De Vos]

Beste,
 
Hier de volgende 2 vragen:

• Kunnen 3 vectoren, behorende tot de reële tripels zowel voortbrengend als lineair afhankelijk zijn? 
• Kunnen 3 vectoren, behorende tot de reële tripels zowel niet voortbrengend als onafhankelijk zijn?

De 2 andere situaties krijg ik zelf opgelost:

• voortbrengend + lineair onafh. : (0.0.1), (0.1.0), (1.0.0) 
• niet voortbrengend + lineair afh. : (1.0.0), (2.0.0), (3.0.0)

Alvast bedankt voor uw inbreng !

[Demophilus]

Ooit al van de volgende stelling gehoord:
Elke lineaire onafhankelijke verzameling van een vectorruimte V (met eindige dimensie) kan worden uitgebreid worden tot een basis van V,
Elke eindige voortbrengende verzameling van V, heeft een deelverzameling dat een basis is van V. 
 
 
Kan je hier iets mee?

[Dries De Vos]

Die stellingen volgen inderdaad logischerwijze uit de definities van voortbrengendheid, lineaire onafhankelijkheid en een basis. 
 
Een voorbeeld van een eindige voortbrengende  verzameling van V, die een deelverzameling heeft die een basis is van V is bijvoorbeeld:
(1.0.0), (2.0.0), (0.1.0), (0.0.1). Maar dit zijn 4 vectoren, en de vraagstelling vroeg 'bestaan er 3 vectoren...'.
 
Een voorbeeld van een LO verzameling van vectorruimte V, die uitgebreid kan worden tot een basis, maar er geen is is bijvoobeeld:
 
(1.0.0), (0.1.0)  (Dit zijn 2 vectoren, en de vraagstelling vroeg  'bestaan er 3 vectoren...'.)
 
om hiervan een basis te maken moeten we nog (bijvoorbeeld) (0.0.1) toevoegen.. 
 
Ik begrijp het nut van die stellingen bij deze vraag, maar omdat het aantal vectoren in mijn verzameling exact 3 moet zijn, leek het me dat de 2 onbeantwoorde situaties niet bestonden...

[Demophilus]

Ja inderdaad, met die stelling die ik noemde kan je gemakkelijk bewijzen dat ze niet bestaan.

Stel dat er zo'n drietal vectoren bestaan, pas de stelling toe en hier zal dan een tegenspraak uit volgen.

[Dries De Vos]

Gaat het dan zoiets als volgt?:
 
Stel dat een eindige verzameling van 3 vectoren in V toch lineair afhankelijk én voortbrengend is, dan moet die verzameling een deelverzameling hebben die een basis is van V, immers 'Elke eindige voortbrengende verzameling van V, heeft een deelverzameling dat een basis is van V.'.
 
Dan zijn er 2 situaties:
 
Ofwel zijn de 3 vectoren zélf de basis van V. Dit is in tegenstrijd met het gegeven dat deze 3 vectoren LA zijn, dus bijgevolg onmogelijk.
Ofwel zijn slechts 2 of 1 vector de basis van V. (Bestaat er dan een eigenschap die zegt dat R3 nooit kan voortgebracht worden door minder dan 3 vectoren?)

[Demophilus]

 (Bestaat er dan een eigenschap die zegt dat R3 nooit kan voortgebracht worden door minder dan 3 vectoren?)

Denk hier nog eens goed over na, hier zou je toch het antwoord op moeten weten. 
Denk bijvoorbeeld eens aan de dimensie van R3.

[Dries De Vos]

Ja ok.

De dimensie van een vectorruimte geeft weer hoeveel vectoren er in de basis zitten. (uit hoeveel elementen de basis bestaat)

Ik had dus duidelijk niet door dat dit inderdaad per definitie drie is voor R3...

Achteraf gezien logisch...

Bedankt!