Grondtal e

door **Brennus** » zo 11 feb 2007, 22:50

Tja..

Wie het getal e bedacht heeft, dat zal een zorg zijn..

In het boek "Ketters" van Theun de Vries verwijst hij naar de verklaring van het "rente op rente" verhaal.

Een jaarrente van 100% levert in 1 jaar tijd een factor 2 op.

Een maandrente hakt dat in 12 stukjes die dan weer een factor 2.6 of zo opleveren, als je daar mee doorgaat kom je bij het getal e uit.

Interessant voor bankiers natuurlijk!

De wetenschappelijke beschrijving is dan van later datum. *

Men kende het idee al langer.

*

The compound-interest problem

Jacob Bernoulli discovered this constant by studying a question about compound interest.

Think about an account that starts with $1.00 and pays 100% interest per year. If the interest is credited once, at the end of the year, the value is $2.00; but if the interest is computed and added twice in the year, the $1 is multiplied by 1.5 twice, yielding $1.00×1.52 = $2.25. Compounding quarterly yields $1.00×1.254 = $2.4414, and compounding monthly yields $1.00×(1.0833)12 = $2.613035.

Bernoulli noticed that this sequence approaches a limit for more and smaller compounding intervals. Compounding weekly yields $2.692597, while compounding daily yields $2.714567, just two cents more. Using n as the number of compounding intervals, with interest of 1/n in each interval, the limit for large n is the number that came to be known as e; with continuous compounding, the account value will reach $2.7182818. More generally, an account that starts at $1, and yields $(1+R) at simple interest, will yield $ eR with continuous compounding.

door **PeterPan** » zo 11 feb 2007, 10:24

Door schade en schande wijs geworden is men aan het eind van de 19-de eeuw zich gaan bezinnen op de de fundamenten van de wiskunde en het juist formuleren van bewijzen. Intuitieve vanzelfsprekendheden zijn nogal eens in strijd met de werkelijkheid. Zo is de relativiteitstheorie volkomen in strijd met de intuitie. Euler gebruikte zijn intuitie op een correcte wijze. Daartoe zijn slechts heel weinig mensen in staat. Hij gebruikte dingen als 1+2+3+... = -1 en bereikte ermee correcte conclusies. Veel later, toen men de fundamenten voor correct bewijzen had gelegd kon men zijn bewijzen rechtvaardigen, dus ook dat 1+2+3+ ... = -1.

Wat aadkr deed is niet een schets geven hoe een bewijs ongeveer in elkaar moet zitten, en de gaten opvullen is niet mogelijk. Het is geen bewijs.

Hij verwisselt limieten. De ene keer komt er een correct antwoord uit, de andere keer niet. Je kunt dan niet zeggen dat de oplossing correct is als het antwoord correct is. Daarvoor zul je moeten bewijzen dat de uitkomst correct is.

door **Bert** » za 10 feb 2007, 22:31

aadkr schreef:Peterpan heeft wel gelijk.

Er zitten wel wat zwakke plekken inde afleiding.

Dat was in de tijd van Euler heel normaal en zou dat, bij het zoeken naar een bewijs van een vermoeden, eigenlijk nog steeds moeten zijn. Eerst schets je hoe het bewijs ongeveer in elkaar zou moeten zitten en daarna ga je de gaten opvullen. Veel van het formalisme dat we nu heel vanzelfsprekend vinden bijvoorbeeld bewijzen van het bestaan van limieten met de

$\epsilon-\delta$

definitie van limieten bestond toen helemaal nog niet.

door **aadkr** » za 10 feb 2007, 21:38

Peterpan heeft wel gelijk.

Er zitten wel wat zwakke plekken inde afleiding.

door **Bert** » za 10 feb 2007, 18:07

Dat moet gelden dat

$e=\lim_{\nrightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

is ook als volgt in te zien:

Neem de functie

$h_n(x)= \left(1+\frac{x}{n}\right)^n $

De afgeleide van deze functie is:

$h'_n(x)= \frac{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{x}{n}\right)} =\frac{h_n(x)}{\left(1+\frac{x}{n}\right)}$

en dat betekent dus dat:

$h'(x)= \lim_{\nrightarrow \infty}\frac{h_n(x)}{\left(1+\frac{x}{n}\right)}=h(x)$

Verder geldt:

$h(x)=\lim_{\nrightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=\lim_{\nrightarrow \infty}\left(\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n/x}\right)^x =\lim_{k\rightarrow \infty}\left(\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right)^x=\left(\lim_{k\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right)^x $

Met andere woorden als

$a=\lim_{\nrightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

dan geldt dat

$h(x)=a^x$

h(x) is dus een exponentiele functie waarvan de afgeleide gelijk is aan zichzelf en dat betekent dat e=a moet zijn.

door **PeterPan** » do 08 feb 2007, 14:05

aadkr schreef:Het binomium van Newton

$(a+b)^n=a^n+\left(n boven 1\right) a^{(n-1)}b + \left( n boven 2\right) a^{(n-2)} b^2+ ...... +b^n$

$(a+b)^n=a^n+\frac{n}{1!}a^{(n-1)}b+\frac{n(n-1)}{2!} a^{(n-2)} b^2+.....+ 1 b^n$
Voor n nadert naar oneindig geldt dan:

$(1+b)^n=1+\frac{n}{1!}b+\frac{n(n-1)}{2!} b^2 + . ....$

$(1+\frac{1}{n})^n=1+\frac{n}{1!}\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+.....$

$(1+\frac{1}{n})^n=1+1+\frac{1}{2!}\frac{n}{n}\frac{(n-1)}{n} +\frac{1}{3!}\frac{n}{n}\frac{(n-1)}{n}\frac{(n-2)}{n} + .......$
Als n nadert tot oneindig , dan worden de termen:

$\frac{n-1}{n} \frac{n-2}{n}$
enzovoort gelijk aan 1

Dus:

$Lim_{\nrightarrow one\indig}(1+\frac{1}{n})^n=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+.....$

Dit is aardig om de limiet aannemelijk te maken, echter je kunt niet zomaar term voor term de limiet nemen.

door **PeterPan** » zo 04 feb 2007, 13:04

PeterPan schreef:Je kunt met bovenstaande definitie van e aantonen dat,

als je de grafiek van y=1/x spiegelt in de lijn y=x dan ontstaat de grafiek met vergelijking
$y =^e\log(x)$

Dit is onzin. Bedoeld is

Je kunt met bovenstaande definitie van e aantonen dat,

de oppervlakte van het blauwe gebied tussen de vertikale lijnen x=1 en x=a is

$,^e\log(a)$

door mo » zo 04 feb 2007, 12:55

6) bij complexe getallen,vooral hier.

door **PeterPan** » zo 04 feb 2007, 12:52

PdeJongh schreef:Dat was inderdaad de Nederlandse Wiki waar ik heb gekeken.

Alleen bij de historie staat o.a. dit:
$\lim_{\nrightarrow\inf}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
Alleen limieten heb ik nog niet gehad bij wiskunde, dus dit zegt mij niet zo heel veel ben ik bang...

Een gezonde manier om het getal e te introduceren (zonder limieten) is als volgt:

Teken de grafiek van y = 1/x en de 2 vertikale lijnen x=1 en x=a. Zie tekening.

Afbeelding

De oppervlakte van het blauwe gebied is 1 als de rechter vertikale lijn ligt bij x=e !!!

Dit is de manier waarop in sommige leerboeken het getal e wordt vastgelegd.

De oplossing van

$3^x=7$

wordt geschreven als

$x =^3\log(7)$

en in het algemeen: De oplossing van

$a^x=b$

wordt geschreven als

$x =^a\log(b)$

Je kunt met bovenstaande definitie van e aantonen dat,

als je de grafiek van y=1/x spiegelt in de lijn y=x dan ontstaat de grafiek met vergelijking

$y =^e\log(x)$

Het getal 2,7182818... dook zo vaak op dat men voor dat getal een aparte letter heeft bedacht, de letter e.

Het getal e duikt b.v. op in de volgende situaties:

1.) Houdt een touwtje aan de uiteinden vast. In de vergelijking van de grafiek van het touwtje duikt de letter e op.

2.) Formule voor de continue rentebijschrijving in de bankwereld.

3.) Definitie voor sinus en cosinus (voor gevorderden).

4.) Radioactief verval; groeisnelheid van bacterien.

5.) en hier op het forum

door **Bert** » za 03 feb 2007, 11:43

PdeJongh schreef:Ik snap nu in ieder geval de berekening. Dat is al iets

Dan snap ik die pagina op wikipedia waarschijnlijk ook beter, en kom ik er hopelijk achter hoe Euler op het idee is gekomen om deze berekening te maken

Ik betwijfel of precies bekend is hoe Euler tot zijn definitie kwam, want de meeste artikelen over (om het even welke) wiskundige ontdekking geven alleen maar een deductieve afleidingen en maar zelden een verslag van de veel interessantere ontdekkingsreis die tot deze ontdekking heeft geleid, maar het zou zo gegaan kunnen zijn:

Differentiaalrekening was nog redelijk nieuw en het ligt voor de hand om te kijken of je een functie f(x) kunt vinden met de eigenschap dat hij f'(x)=f(x). Nu is vrij gemakkelijk af te leiden dat dat iets van de vorm Ba^x moet zijn omdat dat als afgeleide BCa^x heeft waarbij de constante C wordt bepaald door de keuze van a. Niet zo gemakkelijk is af te leiden wat je voor a moet kiezen om te zorgen dat C=1.

Euler hield zich ook veel met reeksen bezig en zal waarschijnlijk al snel gezien hebben dat voor de functie g(x) met:

$g(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+etc$

geldt dat g'(x)=g(x) (dat is eenvoudig in te zien, probeer maar).

Afgezien van de (niet belangrijke) constante B is dit de gezochte exponentiële functie f(x) die daarmee ook nog een definitie voor e oplevert door x=1 te kiezen.

door **A.Square** » vr 02 feb 2007, 21:59

PdeJongh schreef:Dat was inderdaad de Nederlandse Wiki waar ik heb gekeken.

Alleen bij de historie staat o.a. dit:
$\lim_{\nrightarrow\inf}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
Alleen limieten heb ik nog niet gehad bij wiskunde, dus dit zegt mij niet zo heel veel ben ik bang...

De definitie van limiet is in feite eenvoudiger dan die van oneindige som. De limiet zegt wat er met de termen gebeurt als variabele erg, heel erg, groot (en nog groter dan dat) wordt.

Je hoeft dus alleen op die enkele 'laatste' uitdrukking te letten. In tegenstelling tot de som, waar je ook nog alle voorgaande termen erbij moet optellen.

(wiskundigen poepen mij uit voor de volgende regel, maar het maakt het idee duidelijk):

$\lim_{\nrightarrow\inf}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = (1+\frac{1}{\veel})^{\veel}$

door **aadkr** » do 01 feb 2007, 17:13

Het binomium van Newton

$(a+b)^n=a^n+\left(n boven 1\right) a^{(n-1)}b + \left( n boven 2\right) a^{(n-2)} b^2+ ...... +b^n$

$(a+b)^n=a^n+\frac{n}{1!}a^{(n-1)}b+\frac{n(n-1)}{2!} a^{(n-2)} b^2+.....+ 1 b^n$

Voor n nadert naar oneindig geldt dan:

$(1+b)^n=1+\frac{n}{1!}b+\frac{n(n-1)}{2!} b^2 + . ....$

$(1+\frac{1}{n})^n=1+\frac{n}{1!}\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+.....$

$(1+\frac{1}{n})^n=1+1+\frac{1}{2!}\frac{n}{n}\frac{(n-1)}{n} +\frac{1}{3!}\frac{n}{n}\frac{(n-1)}{n}\frac{(n-2)}{n} + .......$

Als n nadert tot oneindig , dan worden de termen:

$\frac{n-1}{n} \frac{n-2}{n}$

enzovoort gelijk aan 1

Dus:

$Lim_{\nrightarrow one\indig}(1+\frac{1}{n})^n=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+.....$

door **PdeJongh** » do 01 feb 2007, 16:25

Ik snap nu in ieder geval de berekening. Dat is al iets

Dan snap ik die pagina op wikipedia waarschijnlijk ook beter, en kom ik er hopelijk achter hoe Euler op het idee is gekomen om deze berekening te maken

door **Isaac Newton** » do 01 feb 2007, 15:28

Dat was ik vergeten erbij te zetten. Sorry. Dat optellen is logisch, omdat het een som is. Daarom schreef ik dát niet op.

door TD » do 01 feb 2007, 15:27

Isaac Newton schreef:Het vertelt ook dat je bij elke 'n' die je hebt het door 1 moet delen.

(...)

PS: als ik iets fout vertel wil iemand me dan aub corrigeren?

Wat bedoel je met telkens door 1 delen? Je moet voor elke n, 1/n! doen en optellen...

Grondtal e

Plaats een reactie

Weergave uitklappen Voorafgaande berichten: Grondtal e

Re: Grondtal e

Re: Grondtal e

Re: Grondtal e

Re: Grondtal e

Re: Grondtal e

Re: Grondtal e

Re: Grondtal e

Re: Grondtal e

Re: Grondtal e

Re: Grondtal e

Re: Grondtal e

Re: Grondtal e

Re: Grondtal e

Re: Grondtal e

Re: Grondtal e

Contact

Community