door RedCat » zo 12 apr 2026, 00:48
Met uw vragen in donkerrood en mijn antwoorden in zwart:
1. Alle getallen tussen 1 en 1000 van de vorm 6n +- 1 noem ik (voor de verandering) . Y
Y = { 1, 5,7, 11,13, 17,19, 23,25, 29,31, ... 995,997 } bevat 333 getallen.
De getallen uit die reeks die priem zijn noem ik X
Er zijn 168 priemgetallen kleiner dan 1000, behalve 2 en 3 hebben ze allemaal de vorm 6n±1,
X bevat dus 168 - 2 = 166 getallen.
Bewijs: zie eerdere posts hierboven: alle getallen in de vorm: 6n+0, 6n+2, 6n+3 en 6n+4 zijn deelbaar door 2 en/of 3, dus die zijn zeker geen priem (behalve 2 en 3 zelf, maar die zijn niet te schrijven als 6n±1), zodat de priemgetallen groter dan 3 ofwel de vorm 6n+1 ofwel de vorm 6n+5 (= 6n-1) hebben.
De 6n +- 1 .situatie .... geeft mij een verhouding X/Y ....... ( hoeveel is dat ?)
\(\frac{X}{Y}=\frac{166}{333} \approx 0.4985\)
2. Situatie 3 n
Voor n eindigend
Op 1 ....... 3n - 2 (stel 1 als zijnde priem) .....n de oneven getallen eindigend op 1 ....... 1/11/21/ 31 ....... dus bv 3x11 -2
Op 3 ...... 3n +- 2 .......... n de oneven getallen eindigend op 3 ......... 3/13/23. /33 ...........dus bv 3 x 23 +- 2
Op 5 ...... 3n +- 2
Op 7 ...... 3n +- 2
Op 9 .......3n + 2
Getallen n die eindigen op cijfer c zijn te schrijven als n=10*k+c (waarbij k ≥ 0),
Als we uw voorwaarden hiermee herschrijven dan levert dit:
n=10k+1 -> 3n±2 = 3(10k+1)±2 = 30k+3±2 -> 30k+1 of 30k+5
n=10k+3 -> 3n±2 = 3(10k+3)±2 = 30k+9±2 -> 30k+7 of 30k+11
n=10k+5 -> 3n±2 = 3(10k+5)±2 = 30k+15±2 -> 30k+13 of 30k+17
n=10k+7 -> 3n±2 = 3(10k+7)±2 = 30k+21±2 -> 30k+19 of 30k+23
n=10k+9 -> 3n±2 = 3(10k+9)±2 = 30k+27±2 -> 30k+25 of 30k+29
dit geeft voor de getallen van 1 t/m 1000 per vorm 30k+r (0 ≤ r ≤29):
#p = aantal priemgetallen met die vorm
#n = totaal aantal getallen met die vorm
priemgetallen: de betreffende priemgetallen met die vorm
Code: Selecteer alles
vorm: #p:#n priemgetallen:
30k+1 18:34 { 31, 61, 151, 181, 211, 241, 271, 331, 421, 541, 571, 601, 631, 661, 691, 751, 811, 991 }
30k+3 1:34 { 3 }
30k+5 1:34 { 5 }
30k+7 24:34 { 7, 37, 67, 97, 127, 157, 277, 307, 337, 367, 397, 457, 487, 547, 577, 607, 727, 757, 787, 877, 907, 937, 967, 997 }
30k+9 0:34 altijd deelbaar door 3
30k+11 22:33 { 11, 41, 71, 101, 131, 191, 251, 281, 311, 401, 431, 461, 491, 521, 641, 701, 761, 821, 881, 911, 941, 971 }
30k+13 20:33 { 13, 43, 73, 103, 163, 193, 223, 283, 313, 373, 433, 463, 523, 613, 643, 673, 733, 823, 853, 883 }
30k+15 0:33 altijd deelbaar door 15
30k+17 22:33 { 17, 47, 107, 137, 167, 197, 227, 257, 317, 347, 467, 557, 587, 617, 647, 677, 797, 827, 857, 887, 947, 977 }
30k+19 18:33 { 19, 79, 109, 139, 199, 229, 349, 379, 409, 439, 499, 619, 709, 739, 769, 829, 859, 919 }
30k+21 0:33 altijd deelbaar door 3
30k+23 21:33 { 23, 53, 83, 113, 173, 233, 263, 293, 353, 383, 443, 503, 563, 593, 653, 683, 743, 773, 863, 953, 983 }
30k+25 0:33 altijd deelbaar door 5
30k+27 0:33 altijd deelbaar door 3
30k+29 20:33 { 29, 59, 89, 149, 179, 239, 269, 359, 389, 419, 449, 479, 509, 569, 599, 659, 719, 809, 839, 929 }
Merk op:
- totaal aantal getallen = 500 (alle oneven getallen)
- totaal aantal priemgetallen = 167 (alleen priemgetal 2 ontbreekt: dit getal is even)
- indien u 1 ook tot de priemgetallen wilt rekenen moet die toegevoegd worden aan de verzameling van 30k+1
Als men gebruik maakt van deze voorwaarden (gezamelijk !) .......... hoeveel is dan de verhouding X/Y ..... (tussen 1 en 1000)
6n±1 bevat alle oneven priemgetallen behalve priemgetal 3.
Als tevens een vorm 30k+r ook moet gelden, dan is die laatste vorm dus bepalend voor de aantallen #p en #n
Met uw vragen in donkerrood en mijn antwoorden in zwart:
[color=#800000]1. Alle getallen tussen 1 en 1000 van de vorm 6n +- 1 noem ik (voor de verandering) . Y[/color]
Y = { 1, 5,7, 11,13, 17,19, 23,25, 29,31, ... 995,997 } bevat 333 getallen.
[color=#800000]De getallen uit die reeks die priem zijn noem ik X[/color]
Er zijn 168 priemgetallen kleiner dan 1000, behalve 2 en 3 hebben ze allemaal de vorm 6n±1,
X bevat dus 168 - 2 = 166 getallen.
Bewijs: zie eerdere posts hierboven: alle getallen in de vorm: 6n+0, 6n+2, 6n+3 en 6n+4 zijn deelbaar door 2 en/of 3, dus die zijn zeker geen priem (behalve 2 en 3 zelf, maar die zijn niet te schrijven als 6n±1), zodat de priemgetallen groter dan 3 ofwel de vorm 6n+1 ofwel de vorm 6n+5 (= 6n-1) hebben.
[color=#800000]De 6n +- 1 .situatie .... geeft mij een verhouding X/Y ....... [b]( hoeveel is dat ?)[/b][/color]
[itex]\frac{X}{Y}=\frac{166}{333} \approx 0.4985[/itex]
[color=#800000]2. Situatie 3 n
Voor n eindigend
Op 1 ....... 3n - 2 (stel 1 als zijnde priem) .....n de oneven getallen eindigend op 1 ....... 1/11/21/ 31 ....... dus bv 3x11 -2
Op 3 ...... 3n +- 2 .......... n de oneven getallen eindigend op 3 ......... 3/13/23. /33 ...........dus bv 3 x 23 +- 2
Op 5 ...... 3n +- 2
Op 7 ...... 3n +- 2
Op 9 .......3n + 2[/color]
Getallen n die eindigen op cijfer c zijn te schrijven als n=10*k+c (waarbij k ≥ 0),
Als we uw voorwaarden hiermee herschrijven dan levert dit:
n=10k+1 -> 3n±2 = 3(10k+1)±2 = 30k+3±2 -> 30k+1 of 30k+5
n=10k+3 -> 3n±2 = 3(10k+3)±2 = 30k+9±2 -> 30k+7 of 30k+11
n=10k+5 -> 3n±2 = 3(10k+5)±2 = 30k+15±2 -> 30k+13 of 30k+17
n=10k+7 -> 3n±2 = 3(10k+7)±2 = 30k+21±2 -> 30k+19 of 30k+23
n=10k+9 -> 3n±2 = 3(10k+9)±2 = 30k+27±2 -> 30k+25 of 30k+29
dit geeft voor de getallen van 1 t/m 1000 per vorm 30k+r (0 ≤ r ≤29):
#p = aantal priemgetallen met die vorm
#n = totaal aantal getallen met die vorm
priemgetallen: de betreffende priemgetallen met die vorm
[code]
vorm: #p:#n priemgetallen:
30k+1 18:34 { 31, 61, 151, 181, 211, 241, 271, 331, 421, 541, 571, 601, 631, 661, 691, 751, 811, 991 }
30k+3 1:34 { 3 }
30k+5 1:34 { 5 }
30k+7 24:34 { 7, 37, 67, 97, 127, 157, 277, 307, 337, 367, 397, 457, 487, 547, 577, 607, 727, 757, 787, 877, 907, 937, 967, 997 }
30k+9 0:34 altijd deelbaar door 3
30k+11 22:33 { 11, 41, 71, 101, 131, 191, 251, 281, 311, 401, 431, 461, 491, 521, 641, 701, 761, 821, 881, 911, 941, 971 }
30k+13 20:33 { 13, 43, 73, 103, 163, 193, 223, 283, 313, 373, 433, 463, 523, 613, 643, 673, 733, 823, 853, 883 }
30k+15 0:33 altijd deelbaar door 15
30k+17 22:33 { 17, 47, 107, 137, 167, 197, 227, 257, 317, 347, 467, 557, 587, 617, 647, 677, 797, 827, 857, 887, 947, 977 }
30k+19 18:33 { 19, 79, 109, 139, 199, 229, 349, 379, 409, 439, 499, 619, 709, 739, 769, 829, 859, 919 }
30k+21 0:33 altijd deelbaar door 3
30k+23 21:33 { 23, 53, 83, 113, 173, 233, 263, 293, 353, 383, 443, 503, 563, 593, 653, 683, 743, 773, 863, 953, 983 }
30k+25 0:33 altijd deelbaar door 5
30k+27 0:33 altijd deelbaar door 3
30k+29 20:33 { 29, 59, 89, 149, 179, 239, 269, 359, 389, 419, 449, 479, 509, 569, 599, 659, 719, 809, 839, 929 }
[/code]
Merk op:
- totaal aantal getallen = 500 (alle oneven getallen)
- totaal aantal priemgetallen = 167 (alleen priemgetal 2 ontbreekt: dit getal is even)
- indien u 1 ook tot de priemgetallen wilt rekenen moet die toegevoegd worden aan de verzameling van 30k+1
[color=#800000]Als men gebruik maakt van deze voorwaarden (gezamelijk !) ..........[b] hoeveel is dan de verhouding X/Y .[/b].... (tussen 1 en 1000)[/color]
6n±1 bevat alle oneven priemgetallen behalve priemgetal 3.
Als tevens een vorm 30k+r ook moet gelden, dan is die laatste vorm dus bepalend voor de aantallen #p en #n
