HansH, je zit er dichtbij.
De actie is inderdaad een fundamenteel wiskundig begrip in de Lagrangiaanse formulering van mechanica zoals vijf uitlegde.
Het is een waarde die je krijgt door de Lagrangiaan (kinetische energie minus potentiële energie) te integreren over de tijd van de beweging. De actie heeft een eenheid van joule·seconde en is dus geen energie op zich, maar een maat voor hoe het energieverloop zich over de tijd ontwikkelt, hoeveel “energiebeweging” er in totaal plaatsvindt tussen begin- en eindtijd.
Het principe van stationaire actie zegt dan: het pad dat een systeem werkelijk volgt, is zó dat de actie stationair is. Dat wil zeggen: als je kleine variaties aanbrengt aan het pad (je verandert het net een beetje), verandert de actie in eerste orde niet. Dat hoeft dus geen minimum te zijn.
In symbolen:
\(\delta S = 0\)
“Stationair” betekent hier dus niet automatisch “minimaal”, en al helemaal niet dat de actie nul is, die is vrijwel nooit nul en dat is ook niet de bedoeling. Het betekent simpelweg dat de afgeleide van de actie (met betrekking tot kleine variaties in het pad) nul is. Net zoals bij een gewone functie een stationair punt een plek is waar de afgeleide nul is.
Bijvoorbeeld voor de functie
\(f(x) = x^2\), is de afgeleide
\(f'(x) = 2x\) gelijk aan nul bij
\(x=0\). Dat is dan een stationair punt (in dit geval een minimum).
De natuur kiest bij actie net zo’n stationair punt. Fysisch betekent dit dat het pad dat de natuur kiest, zó is dat de totale actie stationair is t.o.v. andere denkbare paden dat is het pad dat het systeem daadwerkelijk volgt. Dááruit volgt de bewegingsvergelijking.
De analogie met de methode van de kleinste kwadraten is best aardig, want ook daar zoek je naar een minimale som van kwadraten, maar bij de actie gaat het over een variatie van een integraal van energie, en het stationaire punt is het pad dat fysiek daadwerkelijk wordt gevolgd.
Over waarom het “actie” heet
. Beetje vergezocht maar, denk aan een filmset van een keiharde actiefilm, waarbij de regisseur zegt:
“And... ..... ...... .... ...... ... action!”
Pas dan begint de beweging, het echte verhaal, het proces. In de natuurkunde geeft de actie een soort ‘samenvatting’ van alles wat er gebeurt tijdens de beweging. Het is een getal dat het hele traject beschrijft, en natuurwetten ‘kiezen’ het pad waarvoor die actie stationair is, alsof de natuur ‘de regisseur is’ die beslist wanneer het echte gebeuren start en welke route gevolgd wordt.
Dit in tegenstelling tot publiek dat zeer benieuwd stationair afwacht.
(Best lastig trouwens, om er wat een gevoel bij te krijgen.)HansH, je zit er dichtbij.
De actie is inderdaad een fundamenteel wiskundig begrip in de Lagrangiaanse formulering van mechanica zoals vijf uitlegde.
Het is een waarde die je krijgt door de Lagrangiaan (kinetische energie minus potentiële energie) te integreren over de tijd van de beweging. De actie heeft een eenheid van joule·seconde en is dus geen energie op zich, maar een maat voor hoe het energieverloop zich over de tijd ontwikkelt, hoeveel “energiebeweging” er in totaal plaatsvindt tussen begin- en eindtijd.
Het principe van stationaire actie zegt dan: het pad dat een systeem werkelijk volgt, is zó dat de actie stationair is. Dat wil zeggen: als je kleine variaties aanbrengt aan het pad (je verandert het net een beetje), verandert de actie in eerste orde niet. Dat hoeft dus geen minimum te zijn.
In symbolen:
[tex]\delta S = 0[/tex]
“Stationair” betekent hier dus niet automatisch “minimaal”, en al helemaal niet dat de actie nul is, die is vrijwel nooit nul en dat is ook niet de bedoeling. Het betekent simpelweg dat de afgeleide van de actie (met betrekking tot kleine variaties in het pad) nul is. Net zoals bij een gewone functie een stationair punt een plek is waar de afgeleide nul is.
Bijvoorbeeld voor de functie [itex]f(x) = x^2[/itex], is de afgeleide [itex]f'(x) = 2x[/itex] gelijk aan nul bij [itex]x=0[/itex]. Dat is dan een stationair punt (in dit geval een minimum).
De natuur kiest bij actie net zo’n stationair punt. Fysisch betekent dit dat het pad dat de natuur kiest, zó is dat de totale actie stationair is t.o.v. andere denkbare paden dat is het pad dat het systeem daadwerkelijk volgt. Dááruit volgt de bewegingsvergelijking.
De analogie met de methode van de kleinste kwadraten is best aardig, want ook daar zoek je naar een minimale som van kwadraten, maar bij de actie gaat het over een variatie van een integraal van energie, en het stationaire punt is het pad dat fysiek daadwerkelijk wordt gevolgd.
Over waarom het “actie” heet 🤔. Beetje vergezocht maar, denk aan een filmset van een keiharde actiefilm, waarbij de regisseur zegt:
“And... ..... ...... .... ...... ... action!”
Pas dan begint de beweging, het echte verhaal, het proces. In de natuurkunde geeft de actie een soort ‘samenvatting’ van alles wat er gebeurt tijdens de beweging. Het is een getal dat het hele traject beschrijft, en natuurwetten ‘kiezen’ het pad waarvoor die actie stationair is, alsof de natuur ‘de regisseur is’ die beslist wanneer het echte gebeuren start en welke route gevolgd wordt.
Dit in tegenstelling tot publiek dat zeer benieuwd stationair afwacht.
[i](Best lastig trouwens, om er wat een gevoel bij te krijgen.)[/i]
