door wnvl1 » wo 18 jun 2025, 00:44
Voor een vlakke longitudinale golf is de uitwijking van de deeltjes:
$$
s(x, t) = s_m \cos(kx - \omega t)
$$
Hieruit volgt de snelheid van een deeltje (dus niet van de golf!) als afgeleide naar tijd:
$$
u(x, t) = \frac{\partial s}{\partial t} = s_m \omega \sin(kx - \omega t)
$$
De kinetische energie per volume-eenheid (dus energiedichtheid) is:
$$
E_k = \frac{1}{2} \rho u^2 = \frac{1}{2} \rho \left(s_m \omega \sin(kx - \omega t)\right)^2
= \frac{1}{2} \rho s_m^2 \omega^2 \sin^2(kx - \omega t)
$$
De tijdgemiddelde waarde van \(\sin^2(kx - \omega t)\) over een periode is \(\frac{1}{2}\), dus:
$$
\langle E_k \rangle = \frac{1}{2} \rho s_m^2 \omega^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \rho s_m^2 \omega^2
$$
Voor longitudinale golven is de potentiële energie gemiddeld gelijk aan de kinetische energie, dus:
$$
\langle E_{\text{totaal}} \rangle = 2 \cdot \langle E_k \rangle = \frac{1}{2} \rho s_m^2 \omega^2
$$
Het vermogen is de energiestroom per tijdseenheid door oppervlak \(A\). Dit is:
$$
P = \text{energie per volume-eenheid} \times \text{snelheid} \times A
= \left( \frac{1}{2} \rho s_m^2 \omega^2 \right) \cdot v \cdot A
$$
$$
P = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v \cdot \omega^2 \cdot s_m^2 \cdot A
$$
Voor een vlakke longitudinale golf is de uitwijking van de deeltjes:
$$
s(x, t) = s_m \cos(kx - \omega t)
$$
Hieruit volgt de snelheid van een deeltje (dus niet van de golf!) als afgeleide naar tijd:
$$
u(x, t) = \frac{\partial s}{\partial t} = s_m \omega \sin(kx - \omega t)
$$
De kinetische energie per volume-eenheid (dus energiedichtheid) is:
$$
E_k = \frac{1}{2} \rho u^2 = \frac{1}{2} \rho \left(s_m \omega \sin(kx - \omega t)\right)^2
= \frac{1}{2} \rho s_m^2 \omega^2 \sin^2(kx - \omega t)
$$
De tijdgemiddelde waarde van \(\sin^2(kx - \omega t)\) over een periode is \(\frac{1}{2}\), dus:
$$
\langle E_k \rangle = \frac{1}{2} \rho s_m^2 \omega^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \rho s_m^2 \omega^2
$$
Voor longitudinale golven is de potentiële energie gemiddeld gelijk aan de kinetische energie, dus:
$$
\langle E_{\text{totaal}} \rangle = 2 \cdot \langle E_k \rangle = \frac{1}{2} \rho s_m^2 \omega^2
$$
Het vermogen is de energiestroom per tijdseenheid door oppervlak \(A\). Dit is:
$$
P = \text{energie per volume-eenheid} \times \text{snelheid} \times A
= \left( \frac{1}{2} \rho s_m^2 \omega^2 \right) \cdot v \cdot A
$$
$$
P = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v \cdot \omega^2 \cdot s_m^2 \cdot A
$$
