[quote=arie post_id=71748 time=1582189209 user_id=2026]
De integraal

[latex]\displaystyle \int_{n}^{n+1}{{s\cdot\pi(x)}\over{x(x^s-1)}}dx[/latex]

is niet gedefinieerd als n+1 priem is, omdat [latex]\pi(x)[/latex] dan niet continu is op het interval [n, n+1].
[/quote]
Oh wauw, bedankt! Op school had ik nog niet geleerd dat je niet kan integreren waar de functie niet continu is, dus had hier niet aan gedacht. Maar dat is wel logisch eigenlijk, bedankt. :D

[quote=David post_id=71746 time=1582162993 user_id=2842]
De dikte bij dat stukje van de integraal is 0, niet?
met [tex]\int_a^a f(x) d x = 0[/tex]?
[/quote]
Sorry, maar ik snap eigenlijk niet helemaal wat u hier bedoelt...
Waarschijnlijk heb ik het mis hoor, maar die vergelijking klopt toch altijd, voor elke functie [latex]\displaystyle f(x)[/latex]?
Want [latex]\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)dx=[F(x)]^a_a=F(a)-F(a)=0[/latex]
Alvast bedankt voor uw reactie!

De integraal

[latex]\displaystyle \int_a^b f(x) \; dx[/latex]

is gedefinieerd voor functies f continu op het interval [a, b].
(zie bv. [url]https://nl.wikipedia.org/wiki/Integraalrekening#Hoofdstelling_van_de_integraalrekening[/url])

De integraal

[latex]\displaystyle \int_{n}^{n+1}{{s\cdot\pi(x)}\over{x(x^s-1)}}dx[/latex]

is niet gedefinieerd als n+1 priem is, omdat [latex]\pi(x)[/latex] dan niet continu is op het interval [n, n+1].

Maar omdat [latex]\pi(x) = \pi(n) = \text{constant}[/latex] voor [latex]n \le x < n+1[/latex]
en de integraal van (n+1) tot (n+1) gelijk is aan nul (zie [b][color=#00A000]David[/color][/b] hierboven)
valt die stap te verantwoorden.

De dikte bij dat stukje van de integraal is 0, niet?
met [tex]\int_a^a f(x) d x = 0[/tex]?

Hallo,

Voor mijn profielwerkstuk wil ik het verband tussen de Riemann zèta functie [Formule]\zeta(s)[/Formule] en de priemtelfunctie [Formule]\pi(x)[/Formule] uitleggen. Van de afleiding van een vergelijking snap ik alleen het volgende niet:

Waarom geldt:
[Formule]\int_{n}^{n+1}{{s\cdot\pi(n)}\over{x(x^s-1)}}dx=\int_{n}^{n+1}{{s\cdot\pi(x)}\over{x(x^s-1)}}dx[/Formule]
Het enige wat hier dus verandert is het argument van de priemtelfunctie.

Ik snap dat [Formule]\pi(x)[/Formule] gelijk is voor alle [Formule]n\leq x<n+1[/Formule], maar voor [Formule]x=n+1[/Formule] heeft [Formule]\pi(x)[/Formule] soms toch wel een andere waarde (namelijk als [Formule]n+1[/Formule] priem is)?

In een [url=https://youtu.be/U16_KTTKtb0?t=654]youtube video[/url] die ik had gevonden, wordt gezegd dat er niet gekeken wordt naar de grenzen van de integraal. Kan iemand mij misschien uitleggen waarom dit zo is?
Heel erg bedankt alvast! 😊


Edit:
Het kan natuurlijk ook dat die youtube video niet klopt. Zelf verwacht ik eigenlijk van niet, aangezien ik de conclusie van de video, de vergelijking [Formule]ln(\zeta(s))=\int_{2}^{\infty}{{s\pi(x)}\over{x(x^s-1)}}dx[/Formule], ook in een paper ergens tegen ben gekomen, waar ik nu helaas de URL niet meer van heb.