Een mogelijke oplossing is dat je je formule uitbreidt naar deze:
\(f(x) = 1 + \frac{9 \cdot (10^{c \cdot x/m}-1)}{10^c - 1}\)
Hierin is
f(x) = het behaalde cijfer bij x punten
m = het maximaal te behalen punten
c = een te bepalen constante
In dit plaatje is f(x) geplot voor m=25 en een aantal waarden voor c:
c = 0.21049 (blauw)
c = 0.51385 (groen)
c = 1 (rood)
c = 1.42504 (paars)
c = 3.76194 (lichtgroen)
In zwart zie je bovendien
- de horizontale lijn f(x) = 5.5
- en de schuine lijn van de lineaire cesuur
Voor c = 1 gaat bovenstaande formule over in de formule die jij gaf:
\(f(x) = 1 + \frac{9 \cdot (10^{1 \cdot x/m}-1)}{10^1 - 1}\)
\(= 1 + \frac{9 \cdot (10^{x/m}-1)}{10 - 1}\)
\(= 1 + \frac{9 \cdot (10^{x/m}-1)}{9}\)
\(= 1 + 10^{x/m} - 1\)
\(= 10^{x/m}\)
\(= \left( 10^{1/m} \right)^x\)
en voor m = 25:
\(= \left( 10^{1/25} \right)^x\)
Dit is de rode kromme in de grafiek.
Voor elke gewenste cesuur in punten kan nu je de bijbehorende waarde van c bepalen uit:
\(1 + \frac{9 \cdot (10^{c \cdot x/m}-1)}{10^c - 1} = 5.5\)
Voorbeeld:
Stel we willen de cesuur bij 80% leggen.
Als we maximaal m=25 punten kunnen halen, moet x = 0.80 * 25 = 20 punten dus het cijfer 5.5 opleveren.
Ofwel: in dit geval moet x/m = 0.80 zijn.
We zoeken nu de c waarvoor
\(1 + \frac{9 \cdot (10^{c \cdot 0.80}-1)}{10^c - 1} = 5.5\)
Deze vergelijking kan je oplossen met de methode van
David hierboven,
of je copy/paste de volgende lijn:
1+9*(10^(c*0.80)-1)/(10^c-1)=5.5
naar het invoerveld van
http://www.wolframalpha.com/
Dit programma doet dan het rekenwerk voor je, en geeft als antwoord (onder "Solution" of "Numerical solution"):
c = 1.42504
bij een cesuur van 80% en m=25 kan je het behaalde cijfer f(x) dus berekenen via
\(f(x) = 1 + \frac{9 \cdot (10^{1.42504 \cdot x/25}-1)}{10^{1.42504} - 1}\)
In onderstaande tabel staan voor deze formule:
x = aantal punten
f(x) = behaalde cijfer
toename = toename van het cijfer ten opzichte van het cijfer bij 1 punt minder (= de f(x) van de vorige regel)
Je ziet dat elk extra behaald punt steeds meer waard wordt voor je cijfer (de toename wordt steeds groter).
Code: Selecteer alles
x f(x) toename
0: 1.0000
1: 1.0493 0.04929
2: 1.1055 0.05620
3: 1.1696 0.06409
4: 1.2426 0.07307
5: 1.3260 0.08332
6: 1.4210 0.09501
7: 1.5293 0.10833
8: 1.6528 0.12353
9: 1.7937 0.14085
10: 1.9543 0.16061
11: 2.1374 0.18313
12: 2.3463 0.20882
13: 2.5844 0.23811
14: 2.8559 0.27150
15: 3.1654 0.30958
16: 3.5184 0.35300
17: 3.9210 0.40251
18: 4.3799 0.45897
19: 4.9033 0.52334
20: 5.5000 0.59674
21: 6.1804 0.68043
22: 6.9563 0.77587
23: 7.8410 0.88468
24: 8.8498 1.00877
25: 10.0000 1.15025
In de grafiek bovenaan in deze post ben ik uitgegaan van
cesuur = 56% => x/m = 0.56 => c = 0.21049 (blauw)
cesuur = 64% => x/m = 0.64 => c = 0.51385 (groen)
cesuur = 80% => x/m = 0.80 => c = 1.42504 (paars)
cesuur = 92% => x/m = 0.92 => c = 3.76194 (lichtgroen)
voor m=25 zijn dit resp. 14, 16, 20 en 23 punten.
