We moeten bewijzen (voor alle positieve gehele n):
\(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}^n = 2^{n-1} \begin{bmatrix} 2 & n & n(n+2)\\ 0 & 2 & 4n\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\)
(dus bewijzen dat links gelijk is aan rechts)
[1] Basisstap:
Voor n=1 heb je dat al aangetoond, maar veel docenten hebben het liever net iets uitgebreider, bijvoorbeeld:
\(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}^1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = 2^{1-1} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1\cdot(1+2)\\ 0 & 2 & 4\cdot1\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\)
Op deze manier zie je wat je gedaan hebt: voor n aan beide kanten 1 ingevuld, en aangetoond dat de uitkomst hetzelfde is (midden) voor beide kanten.
[2] Inductie-stap:
Stel de stelling is waar voor n = k, dan geldt voor n = k + 1 voor het linker lid (voor n vullen we nu in: k+1 ):
\(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}^{k+1} =\)
(gebruik wat
arno hierboven gezegd heeft:)
\(= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}^k\)
en nu gebruiken we de inductie-aanname (= de veronderstelling dat onze stelling klopt voor n = k):
\(= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot 2^{k-1} \cdot \begin{bmatrix} 2 & k & k(k+2)\\ 0 & 2 & 4k\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = ...\)
Werk dit matrix-product uit.
Tenslotte moeten we aantonen dat het resultaat daarvan gelijk is aan het rechter lid voor n = k + 1, dus gelijk aan ( voor n weer (k+1) invullen):
\(... = 2^{(k+1)-1} \cdot \begin{bmatrix} 2 & (k+1) & (k+1)((k+1)+2)\\ 0 & 2 & 4(k+1)\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\)
Kom je zo verder?
