Bij [tex]x=-\sqrt{2}[/tex] zijn er 9 ophopingspunten waar de rij naar "convergeert".
De rij [tex]u_8, u_{17},\cdots,u_{8+9n},\cdots[/tex]
convergeert niet naar 1.
Deze rij convergeert wel heel snel, elke term geeft 40 extra decimalen.
u(8)-u(0) ~ 10^-44
u(17)-u(8) ~ 10^-84
u(26)-u(17) ~ 10^-124
u(35)-u(26) ~ 10^-164

Jullie hebben hard gewerkt,geweldig.., veel harder dan dat ik had verwacht !
a)De uitkomst is inderdaad x = wortel 2 (in principe was deze uitkomst voldoende..).
Tenslotte ging het enkel om het truckje dat je moest bedenken om hieraan te komen.
b)De optie : x = -wortel 2 is onjuist ! Hiervoor heb ik geen perfect wiskundig bewijs van maar ik
heb het verloop van de powertoren berekend wanneer ik x vervang door -wortel 2 en dit gedurende
een reeks van machtsverheffingen. In alle gevallen kreeg ik een vorm : a + b.i waarbij de modulus
alternerend toeneemt naarmate een machtsverheffing bijkomt.
c)Hoewel niet nodig, heb ik voor mezelf ook eens de powertoren = n, met n een willekeurig getal
lopend vanaf 0 tot oneindig. Hierbij heb ik de grafiek x = f(n)geplot met de max. waarde van x
voor een bepaalde waarde van n.
Het geheel wordt binnenkort gepubliceerd.

u(n)=if(n==0,-sqrt(2),(-sqrt(2))^u(n-1))
for(i=0,26,print(i" "u(i)))

Ja, dat is vreemd. Ik heb dit in Pari gedaan. Hier is mijn code:

[code]u(n)=if(n==0,-sqrt(2),(-sqrt(2))^u(n-1))
for(i=0,26,print(i" "u(i)))[/code]
Als ik de precisie groter zet dan krijg ik andere waarden, en geldt niet meer u(n) = u(n+9).
u6 is klein, vrij ver onder 0 zodat (-sqrt(2))^u6 ook vrij dicht bij 0 ligt, maar niet 0 is.
Met grotere precisie:
26 1.00000000000000000000000000000000000000000000499417526550148 + 1.51335789545409518931341943571924924655536978340274893967275 E-45*I

Heel erg vreemd dat [tex]u_7=0[/tex]. Dan is [tex](-\sqrt2)^{u_6}=0[/tex]?

Je 26-ste regel lijkt 1 te zijn.
Dat is niet zo, het is

1,000000000000000000000000000000000000000000004994175...+ 1.513...E-45*I
Curieus.

i u(i)
0 -1.414213562373095048801688724
1 -0.1630939979434148549219376046 + 0.5904359195385348206231159852*I
2 0.1409212957930527495362158019 - 0.04479089834173139805294192888*I
3 1.100086307006725314269837041 + 0.5007913460540363527439209913*I
4 -0.2681687815685467766929081022 - 0.1423469205538788661195174125*I
5 0.8949807505630137397356148928 - 1.109042679617501408669836778*I
6 -33.58356301575628477871874181 + 29.11763055893673889530931102*I
7 6.491878472558128291346615845 E-46 - 1.518078385198129994507331585 E-45*I
8 1.000000000000000000000000000 + 1.513357895454095189313419222 E-45*I
9 -1.414213562373095048801688724 + 0.E-28*I
10 -0.1630939979434148549219376046 + 0.5904359195385348206231159852*I
11 0.1409212957930527495362158019 - 0.04479089834173139805294192888*I
12 1.100086307006725314269837041 + 0.5007913460540363527439209913*I
13 -0.2681687815685467766929081022 - 0.1423469205538788661195174125*I
14 0.8949807505630137397356148928 - 1.109042679617501408669836778*I
15 -33.58356301575628477871874181 + 29.11763055893673889530931102*I
16 6.491878472558128291346615845 E-46 - 1.518078385198129994507331585 E-45*I
17 1.000000000000000000000000000 + 1.513357895454095189313419222 E-45*I
18 -1.414213562373095048801688724 + 0.E-28*I
19 -0.1630939979434148549219376046 + 0.5904359195385348206231159852*I
20 0.1409212957930527495362158019 - 0.04479089834173139805294192888*I
21 1.100086307006725314269837041 + 0.5007913460540363527439209913*I
22 -0.2681687815685467766929081022 - 0.1423469205538788661195174125*I
23 0.8949807505630137397356148928 - 1.109042679617501408669836778*I
24 -33.58356301575628477871874181 + 29.11763055893673889530931102*I
25 6.491878472558128291346615845 E-46 - 1.518078385198129994507331585 E-45*I
26 1.000000000000000000000000000 + 1.513357895454095189313419222 E-45*I

Lijkt me een goede verklaring, maar er was twijfel over die methode als ik het goed begrijp, juist omdat het twee oplossingen geeft, zowel voor sqrt(2)^sqrt(2)^(...) als voor x^x^x^x = 2.

Met de recursie krijg ik periodieke waarden; u(n) = u(n+9). Inspectie maar lijkt mee bewijs tegen convergentie.
[code]i u(i)
0 -1.414213562373095048801688724
1 -0.1630939979434148549219376046 + 0.5904359195385348206231159852*I
2 0.1409212957930527495362158019 - 0.04479089834173139805294192888*I
3 1.100086307006725314269837041 + 0.5007913460540363527439209913*I
4 -0.2681687815685467766929081022 - 0.1423469205538788661195174125*I
5 0.8949807505630137397356148928 - 1.109042679617501408669836778*I
6 -33.58356301575628477871874181 + 29.11763055893673889530931102*I
7 6.491878472558128291346615845 E-46 - 1.518078385198129994507331585 E-45*I
8 1.000000000000000000000000000 + 1.513357895454095189313419222 E-45*I
9 -1.414213562373095048801688724 + 0.E-28*I
10 -0.1630939979434148549219376046 + 0.5904359195385348206231159852*I
11 0.1409212957930527495362158019 - 0.04479089834173139805294192888*I
12 1.100086307006725314269837041 + 0.5007913460540363527439209913*I
13 -0.2681687815685467766929081022 - 0.1423469205538788661195174125*I
14 0.8949807505630137397356148928 - 1.109042679617501408669836778*I
15 -33.58356301575628477871874181 + 29.11763055893673889530931102*I
16 6.491878472558128291346615845 E-46 - 1.518078385198129994507331585 E-45*I
17 1.000000000000000000000000000 + 1.513357895454095189313419222 E-45*I
18 -1.414213562373095048801688724 + 0.E-28*I
19 -0.1630939979434148549219376046 + 0.5904359195385348206231159852*I
20 0.1409212957930527495362158019 - 0.04479089834173139805294192888*I
21 1.100086307006725314269837041 + 0.5007913460540363527439209913*I
22 -0.2681687815685467766929081022 - 0.1423469205538788661195174125*I
23 0.8949807505630137397356148928 - 1.109042679617501408669836778*I
24 -33.58356301575628477871874181 + 29.11763055893673889530931102*I
25 6.491878472558128291346615845 E-46 - 1.518078385198129994507331585 E-45*I
26 1.000000000000000000000000000 + 1.513357895454095189313419222 E-45*I
[/code]

Ik denk omdat de vergelijking [tex]\sqrt 2^x=x[/tex] slechts 2 en 4 als oplossingen heeft.

Nu blijft het nog zoeken of [tex]-\sqrt2[/tex] ook een oplossing is...

Hoe kan je hieruit opmaken dat x = sqrt(2) ook daadwerkelijk 2 geeft in plaats van een getal <= 2 (uitsluiten van <)?

[tex]u_{0} = \sqrt{2}[/tex]
[tex]u_{n} = \sqrt{2}^{u_{n-1}}[/tex] voor n>0.

Met volledige inductie is hieruit aan te tonen dat [tex]u_{n}\le 2[/tex] voor alle n.

Het klopt voor n=0.
Stel [tex]u_{m}\le 2[/tex],
dan is [tex]u_{m+1} = \sqrt{2}^{u_{m}} \le\mbox{ (}[/tex]inductiehypothese en [tex]x\to\sqrt{2}^x[/tex] is stijgend [tex]\mbox{) }\sqrt{2}^2 = 2[/tex].

[quote="op=op"]
Welk argument heb je daar voor? Stijgend en begrensd?[/quote]Inspectie. Voor betrekkelijk kleine waarden van n lijkt het zo dat u_n twee nadert, en vrij snel. Maar dit is niet het sluitende argument. Voor u_100 in
[formule]\text{voor } n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \tex{, als }n = 0\text{ dan }u_{n} = sqrt{2}\text{ anders }u_{n} = sqrt(2)^{u_{n-1}}[/formule] vind ik 1.99999999999999994701...

Ik ben nog niet uit het convergentiebewijs, maar ik denk het volgende, voor het begrenzen:

a^x is stijgend als a > 1 en x toeneemt.
[formule]\sqrt{2} < \sqrt{2}^{sqrt{2}} < \sqrt{2}^2 = 2[/formule]
stel elk lid van de ongelijkheid de macht een macht met het lid als de exponent als grondtal [formule]\sqrt{2}[/formule]. Ik denk dat dit toont dat de power tower <= 2 is, maar een vergelijkbare redenatie toont ook dat het <= 4 is wat samen <= 2 geeft?

De oplossing 4 die je geeft is wel interessant. Werken we met
[formule]\text{voor } n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \tex{, als }n = 0\text{ dan }u_{n} = a\text{ anders }u_{n} = sqrt(2)^{u_{n-1}}[/formule] dan geldt (te bewijzen?) dat
als a < 4 dan u_n -> 2,
als a = 4 dan u_n -> 4,
anders, als a > 4 dan u_n -> oneindig

Allen bedankt voor Uw reacties.. De ene benadert het al beter dan de andere..
De bedoeling is dan iedereen het moet kunnen en dus ook diegene die geen rekenmachine hebben..
Ik ga 2 hints geven :
1- De waarde x is begrensd tussen : 1 < x < 2
want bij x = 1 blijft de waarde onder de torenpower gelijk aan 1
en voor x = 2 gaan we na enkele machtsverheffingen al zeer snel zeer grote waardes bekomen !
2- Wat gebeurt er indien we onder de powertoren nog een x plaatsen ? Verandert de waarde van de
powertoren daardoor ?
Voor de elektronici onder jullie : wat doen we als we b.v. de ingangsimpedantie moeten bepalen
van een keten waarbij een oneindig aantal gelijke deelcircuitjes na elkaar geplaatst worden ?
Noot: In plaats van = 2 kunnen we de powertoren ook gelijkstellen aan een willekeurig getal n,
lopend vanaf 0 tot oneindig. In al deze gevallen is de uitkomst begrensd. Hierop kom ik
later op terug..

[tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} = 4[/tex]

komt niet uit de lucht vallen. Het is jouw truc die uit de lucht komt vallen.
[tex]\sqrt{2}[/tex] is geen oplossing als bij substitutie er niet 2 maar 4 uit komt.

Om [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}}[/tex] te berekenen stel ik het gelijk aan y.

[tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} = y[/tex]

Dan is [tex]\sqrt{2}^y = \sqrt{2}^(\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}}) = y[/tex].
[tex]\sqrt{2}^y = y[/tex] wordt voldaan voor y=4, dus
[tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} = 4[/tex].

Nu jij met jouw 5.

Dit is de essentie van het probleem.

[quote="op=op"]Los op
[tex]x^{x^{x^{\cdot^{\cdot}}}}=2[/tex].

Wat denk je van de volgende redenering:
[tex]x=\sqrt{2}[/tex] kan geen oplossing zijn, want dan komt er 4 uit

[tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} = 4[/tex]

Ga maar na met je truc [tex]\sqrt{2}^4 = 4[/tex].[/quote]
:?: :?:
Wat met de volgende 'redenering': het is 5 omdat het 5 is...

De veronderstelling [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}}} = 4[/tex] komt gewoon uit de lucht vallen.

[quote="op=op"][quote="David"]
Wat 2 nadert als n toeneemt.
[/quote]

Welk argument heb je daar voor? Stijgend en begrensd?[/quote]
Met inductie heb je [tex]u_n<2[/tex] en dat het stijgend is.

Los op
[tex]x^{x^{x^{\cdot^{\cdot}}}}=2[/tex].

Wat denk je van de volgende redenering:
[tex]x=\sqrt{2}[/tex] kan geen oplossing zijn, want dan komt er 4 uit

[tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} = 4[/tex]

Ga maar na met je truc [tex]\sqrt{2}^4 = 4[/tex].

[quote="David"]
Wat 2 nadert als n toeneemt.
[/quote]

Welk argument heb je daar voor? Stijgend en begrensd?