In deze discussie gaat het meer om de grondslagen van de Bra's en Ket's dan de toepassing van deze mooie notatie. Los van de grondslagen is het toch ook een elegante en compacte manier van beschrijven. Inwendige producten van matrixen of operatoren en vectors kun je ook veel ingewikkelder noteren.
Er zijn veel voorbeelden van toepassingen zoals beschrijving Bell states.

[quote]Bijvoorbeeld ∂f is niet gedefinieerd (voor zover ik weet),[/quote]
Het symbool ∂ wordt in de topologie ook gebruikt om de rand van een topologische verzameling weer te geven, net zoals π n in de algebraïsche topologie wordt gebruikt voor het weergeven van een fundamentaalgroep.

Ja - je hebt gelijk. Het is gewoon niet te doen om alles tot op de bodem na te pluizen. Onderstaand artikel geeft een aardig overzicht van waar je dan allemaal tegenaan loopt:

https://stanford.library.sydney.edu.au/archives/spr2017/entries/qt-nvd/

Met recht een doos van Pandora! Maar het zou nog wel leuk zijn als ik een boek kan vinden dat het verhaal uit het artikel wat uitgebreider vertelt. Dat kan ik dan lezen, en als waarschuwing nog weer eens inzien wanneer ik weer eens te diep wil graven.

Een ander punt is dat men in de wiskunde soms symbolen gebruikt die op zichzelf helemaal niet gedefinieerd zijn als een zelfstandig object, maar die binnen een uitdrukking wel een goed gedefinieerde betekenis hebben.

Bijvoorbeeld [itex]\partial f[/itex] is niet gedefinieerd (voor zover ik weet), maar [itex]\frac{\partial f}{\partial x}[/itex] wel.

Of een ander voorbeeld: soms gebruikt men de notatie [itex]f^{-1}(Y)[/itex] voor het inverse beeld van Y onder de functie f. Oftewel, de verzamaling punten x zodanig dat [itex]f(x) \in Y[/itex]. Zelfs as f helemaal geen inverteerbare functie is. In dat geval is [itex]f^{-1}[/itex] dus helemaal niet gedefinieerd, maar de uitdrukking [itex]f^{-1}(Y)[/itex] is dat wel.

Hoewel de Dirac functie geloof ik wel precies te definieren valt via distribtuties, is dit ook een andere manier om er tegen aan te kijken.

Ja, dat snap ik, en als jij het leuk vindt om je helemaal te gaan verdiepen in de formele wiskundige onderbouwing van de Dirac functie dan moet je dat vooral doen.

Maar er zijn hele goeie redenen waarom die wiskunde meestal overgeslagen wordt door de natuurkundigen. Je kunt nou eenmaal niet alles weten dus soms moet je keuzes maken. Als je je continu laat afleiden door wiskundige details dan zal je in de natuurkunde maar weinig vooruitgang boeken.

Bovendien ben ik band dat je, als je je dieper in de wiskunde gaat verdiepen, opnieuw tegen nog meer onbevredigende details aan zult lopen, waardoor je nog verder afgeleid wordt. Het is gewoon volstrekt ondenkbaar voor één enkel persoon om de QM helemaal vanaf de grondbeginselen van de logica en de verzamelingen theorie op te kunnen bouwen (waar jij wel naar toe lijkt te willen).

Goed, uiteindelijk moet je het natuurlijk helemaal zelf weten, en doe vooral wat jij zelf interessant vindt, maar ik denk echt dat je het jezelf een stuk makkelijk maakt als je gewoon probeert om jezelf aan te leren 'als een natuurkundige te denken'.

@ Math-E-Mad-X

Dat is ook hoe ik mij die delta-functies in de praktijk voorstel. Vaak verschillen de [i]voorstellingen[/i] die we van wiskundige objecten hebben nogal van hun [i]formele definities[/i]. Vergelijk ook de reële getallen. Maar zowel de voorstellingen als de formule definities zijn van waarde: de voorstellingen voor praktijkwerk en de formele definities als onderbouwing en om op terug te vallen in lastige situaties.

Op zich is het helemaal niet zo moeilijk om van die dirac functies af te komen.

In plaats van de dirac functie kun je gewoon een willekeurige kwadratisch integreerbare functie kiezen die gepiekt is rondom het punt waar je het puntdeeltje wil hebben. Daarmee kun je de berekeningen uitvoeren die je wil doen. Vervolgens doe je dit nog een keer, maar dan met een iets smallere functie. En daarna nog een keer met een nog smallere functie, etcetera. Je hebt dan een reeks uitkomsten waarvan je de limiet kunt nemen, en die limiet is het gewenste resultaat.

Uiteraard moet je die berekeningen niet letterlijk allemaal gaan uitvoeren, want dan blijf je eeuwig bezig. Het is vooral een proces wat je in gedachten moet nemen elke keer dat je een Dirac functie tegen komt. Die Dirac functie is dus gewoon niets anders dan een verkorte [b][u]notatie[/u][/b] voor dit omslachtige proces.

In het begin lijkt dit misschien erg omslachtig allemaal, maar daar wen je heel gauw aan en al snel zal je die Dirac functie gewoon accepteren en er niet eens meer over nadenken. En ik kan je sowieso garanderen dat dit eenvoudiger is dan om helemaal een nieuwe formulering van de QM aan te gaan leren.

[quote=flappelap post_id=1136601 time=1589009510 user_id=79501]
[quote="Professor Puntje" post_id=1136571 time=1588954272 user_id=76038]
Is er behalve rigged Hilbert spaces nog een andere wiskundige onderbouwing van de QM mogelijk? En werkt de algebraïsche QM zonder deltafuncties?
[/quote]

Ik heb geen idee. Maar waarom zou je die deltafuncties kwijt willen?
[/quote]

Omdat ze niet in de hilbertruimten zitten. Je zou de hilbertruimten wiskundig gesproken moeten uitbreiden (met distributies o.i.d.) voordat je daarin met deltafuncties kunt werken. Of je moet een andere oplossing zoeken.

[quote="Professor Puntje" post_id=1136571 time=1588954272 user_id=76038]
Is er behalve rigged Hilbert spaces nog een andere wiskundige onderbouwing van de QM mogelijk? En werkt de algebraïsche QM zonder deltafuncties?
[/quote]


Ik heb geen idee. Maar waarom zou je die deltafuncties kwijt willen?

Is er behalve rigged Hilbert spaces nog een andere wiskundige onderbouwing van de QM mogelijk? En werkt de algebraïsche QM zonder deltafuncties?

Wat die stelling van Riesz je garandeert, is een 1-op-1 relatie tussen bra's en kets. In de alg.rel.theorie heb je een soortgelijke relatie tussen vectoren en duale vectoren, omdat de metriek inverteerbaar is.

Dus als jij <x| opschrijft, dan correspondeert daar een unieke ket |x> mee. Da's wel zo handig als je b.v. de norm van |x> wilt uitrekenen ;)

Ik heb deze stelling trouwens nooit voorbij zien komen in mijn eigen vakken QM. Daar werd het als vanzelfsprekend aangetoond, en zolang je geen rare, discontinue gevallen bekijkt, levert die naiviteit volgens mij geen problemen op :P

Hier even een ander perspectief op de Dirac notatie:

https://www.youtube.com/watch?v=7zI5zsPuRVs

Zie vanaf 1:03.00 .

Zo - ik heb nu de "basic concepts" serie van Zwiebach bekeken, er is nog meer maar eerst maar even laten bezinken...

@PP

Was een beetje te direct sry. Ik doe zelf in mijn vrije tijd ook graag iets leren. Voor mij is het ook moeilijk wanneer begrijp je echt iets. Komisch is als je soms wiki of andere media erop na slaat. Dan gaat het erg diep op het onderwerp in naarmate je graaft. Dan zit er vaak veel meer achter simpele vragen zoals jij ook stelt.

Ik zelf vind het dan leuk een eigen huisje te bouwen om dat thema bijvoorbeeld te verklaren en begrijpen. Een beetje de aanpak van 3Blue1Brown en heeft leuke nieuwe type filmpjes (minder klinisch). Recent eentje gekeken over Eulers formula:

https://www.youtube.com/watch?v=ZxYOEwM6Wbk

Iedereen bouwt zijn eigen huisjes en taal. De moed niet opgeven. Terug op topic: Bra en Kets. Ik was vroeger ook meer: Shut Up And Calculate.

@ OOOVincentOOO

Die serie van R. Shankar heb ik zelf ook ooit bekeken. Die is heel goed.

Je kritiek op mij is niet terecht, ik probeer hier regelmatig ook zelf nieuwe dingen uit, en ik ben steeds druk bezig om allerhande zaken te bestuderen. Maar inderdaad - balkonroepers die zelf nooit met iets origineels komen maar er wel als de kippen bij zijn om overal hun cynische commentaar op leveren, hebben we hier ook. Niets van aantrekken - alles went.