Oneindig veel banen tegelijk?

door **Bartjes** » di 05 aug 2014, 19:23

Ik kan mij de beide posities wel voorstellen. Als je uitgaat van de idee "als het werkt is het goed" dan is een rigoureuze wiskundige onderbouwing irrelevant. Maar wanneer je natuurkunde als een toonbeeld van exactheid ziet is het een schande wanneer er wiskundige methoden gebruikt worden waarvoor een rigoureuze onderbouwing ontbreekt. Het is maar net wat voor (ideaal)beeld van de natuurkunde je hebt.

door **Math-E-Mad-X** » di 05 aug 2014, 18:57

Bij mij op de universiteit (van Amsterdam) heersten er nogal wat strubbelingen tussen de theoretische fysici aan de ene kant en de mathematische fysici aan de andere kant.

Professoren uit het theoretische fysica kamp vonden dat de mathematische fysici maar met onbenullige details bezig waren. Terwijl de matematisch fysici vonden dat de theoretische fysici maar wat aan het prutsen waren.

En dan heb ik het dus niet over wat grapjes ofzo. Soms werden er echt neerbuigende opmerkingen over en weer gemaakt. Nooit echt openlijk en hardop, maar in de wandelgangen ving je wel eens wat op.

door **Bartjes** » di 05 aug 2014, 17:29

@ 317070

Dank voor de links. De conclusie van je gelinkte pdf vermeldt dat Feynman path integrals geen rigoureuze wiskundige onderbouwing hebben. Dat zal dus wel zo zijn.

Hoe erg dat is, valt niet objectief te zeggen. Dat is toch vooral een kwestie van (wetenschapsfilosofische) smaak.

door **317070** » di 05 aug 2014, 16:41

Bartjes schreef: Wellicht is de situatie vergelijkbaar met het gebruik van Dirac's deltafunctie in de natuurkunde en techniek voordat er een rigoureuze theorie van distributies bekend was?

Ik ben er zeker van dat die wiskundige onderbouw (al lang) bestaat. Het heeft namelijk niet alleen toepassingen in QFD, maar gewoon in dynamica in het algemeen. Lagrangiaanse dynamica begon in 1788 en heeft functionalen nodig. ( http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_dynamics )
Zie bijvoorbeeld: http://ethesis.helsinki.fi/julkaisut/mat/fysik/pg/valtakoski/mathemat.pdf

Ik ben er ook zeker van dat die axiomatische onderbouw de meeste fysici (en Feynmann) worst kan wezen.

Uiteindelijk werkt het allemaal toch zoals je zou verwachten.

door **JorisL** » di 05 aug 2014, 16:41

Math-E-Mad-X schreef:
Sterker nog: als ik het mij goed herinner bestaat hier eigenlijk geen echt goede wiskundige theorie voor. Dit is typisch een geval van 'wiskunde uitgevonden door natuurkundigen'. Het werkt, zolang je het binnen de juiste context gebruikt, omdat je er mee kunt rekenen, maar echt harde wiskundige axioma's ontbreken.

Volledig juist dit, een wiskundige die helemaal weg is van rigoureus werk vind het formalisme binnen QFT vaak tenenkrommend.
Misschien dat het op een dag mogelijk is om dit allemaal wiskundig te ondersteunen op een rigoureuze manier, voorlopig zijn we daar nog niet.

Ikzelf heb het pad-formalisme niet kunnen bestuderen, er is immers maar een beperkte tijd beschikbaar voor ieder onderdeel.
De referentietekst die vaak naar voren komt is de tekst door Peskin & Schroeder. Daarin word het formalisme volledig uitgewerkt naar mijn weten.
Ook de teksten van Weinberg zouden goed moeten zijn. Let er wel op dat Weinberg zijn eigen regels volgt en hier en daar wel eens durft een andere route in te slaan. (in zijn kwantum mechanica tekst valt dit erg hard op, hij stapt daar af van de Dirac bra-ket notatie en motiveert dit met een, naar mijn mening, drogreden in een voetnoot)

Voor dit soort dingen is het best om sowieso een naslagwerk te hebben. Voor een iets eenvoudigere inleiding kan ik Mandl & Shaw aanraden, nog zo'n bekend boek. Hier wordt in het eerste deel kwantisatie gebruikt waarna canonische commutatierelaties opgelegd worden. Meestal is dat ook hetgeen gebruikt wordt voor een inleiding.

door **Bartjes** » di 05 aug 2014, 16:29

Wellicht is de situatie vergelijkbaar met het gebruik van Dirac's deltafunctie in de natuurkunde en techniek voordat er een rigoureuze theorie van distributies bekend was?

door **317070** » di 05 aug 2014, 16:13

Bartjes schreef: Je zou de onderstaande integraal kunnen bekijken:

\( \int_0^1 f(A(g(x)) \, \mbox{d}x \)

Jamaar, dat is een Riemann-integraal. Integreren over paden doe je met een functionaal-integraal: http://en.wikipedia.org/wiki/Functional_integral
Je kunt het wat zien als een Riemann-integraal van een oneindig-dimensionale volume.

Ik ben er al in contact mee gekomen via kernel-gebaseerde methodes in machine learning (die een beetje gelijkaardig werken als QFD), maar heb me nooit echt vragen gesteld bij de wiskundige axioma's erachter. Je drijft gewoon het aantal dimensies waarover je integreert naar oneindig, het is een limiet zoals een andere. De integraal ziet er dus zoiets uit:

\(\lim_{n \to \infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\,\ldots \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\,\ \exp \left(\frac{{\rm i}}{\hbar}\int\limits_{t_a}^{t_b} L(x(t),v(t), t)\,\mathrm{d}t\right)dx_0 \, \ldots \, dx_n\)

De truc om ze ook effectief te berekenen is dat (in nette handboek-gevallen) iedere van de oneindig integralen eigenlijk een convolutie van iets met de vorige term is. Een convolutie in het fourier-domein is een vermenigvuldiging, en in het fourier-domein kunnen al die vermenigvuldigingen dus samengenomen worden in 1 exponent. Dan kun je wat vereenvoudigen en vervolgens terugkeren naar het niet-Fourier (fase) domein waar je dan die oneindig veel convoluties kwijt bent en hopelijk iets netjes uitkomt (bijvoorbeeld de Schrödinger-vergelijking).

Anders moet je dit voorbeeld eens narekenen: http://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation#Free_particle

door **Math-E-Mad-X** » di 05 aug 2014, 15:50

Het is een tijd geleden voor me, dus ik weet het eerlijk gezegd niet zo goed meer. Echter, wat ik nog wel weet is dat dit stof is die ik tijdens de master Theoretische Fysica kreeg, bij het vak Quantum Velden Theorie. Oftewel: dit is zware materie. Ik betwijfel dus of je hier echt een bevredigend antwoord op kunt krijgen. Hopelijk is hier nog iemand die dit nog wel allemaal goed weet en die ook goed kan uitleggen.

Sterker nog: als ik het mij goed herinner bestaat hier eigenlijk geen echt goede wiskundige theorie voor. Dit is typisch een geval van 'wiskunde uitgevonden door natuurkundigen'. Het werkt, zolang je het binnen de juiste context gebruikt, omdat je er mee kunt rekenen, maar echt harde wiskundige axioma's ontbreken.

door **Bartjes** » di 05 aug 2014, 15:34

Laten we het zo eenvoudig mogelijk maken:

Neem een orthonormaal driedimensionaal assenstelsel. Punt O = (0,0,0) en punt P = (1,0,0). Laat B de verzameling zijn van alle continue lijnen die O met P verbinden. Dan zijn het interval [0,1] en de verzameling B gelijkmachtig. Er bestaat dan een afbeelding A van [0,1] op B zodanig dat A een bijectie is. Hoe kunnen we al de banen uit B dan tot een reële waarde sommeren?

Je zou de onderstaande integraal kunnen bekijken:

\( \int_0^1 f(A(g(x)) \, \mbox{d}x \)

Voor handig gekozen functies f: B -> C (complexe getallen) en g: [0,1] -> [0,1] is die integraal wellicht uit te rekenen. Maar hoe bepaal je die f en g, en leveren alle bruikbare f en g wel een zelfde uitkomst van de integraal op?

Is dit zo'n beetje wat er gebeurt? En hoe werkt dat dan?

door **Bartjes** » vr 01 aug 2014, 21:22

Idee: is er misschien iets met Fourierreeksen mogelijk, waarbij je de baan van A naar B als één periode ziet?

door **Bartjes** » vr 01 aug 2014, 20:41

317070 schreef: Continuě functies zijn Beth 1: https://en.wikipedia.org/wiki/Beth_number#Beth_one

Oei!

Niet verder gekeken dan mijn neus lang is. Dat deel van mijn probleem is dus opgelost: alle banen van A naar B kunnen met de getallen van het interval [0,1] genummerd worden.

Rest nog de vraag:

Probleem is dan wel wat de juiste indicering van de mogelijke banen is, zodra je dat weet is het probleem van de niet-eenduidigheid opgelost. Gebruik je dan een andere dan de juiste (of voorgeschreven) indicering dan moet je daarvoor corrigeren. Maar ik zie nog geen logische standaard-manier om al die mogelijke banen van A naar B te indiceren...

Qua kardinaliteit moet het mogelijk zijn maar hoe doe je dat?

door **317070** » vr 01 aug 2014, 13:49

Bartjes schreef: Dat zouden er inderdaad minder kunnen zijn zodat je toch weer op de kardinaliteit van R uitkomt. Heb je daar een bron voor?

Continuě functies zijn Beth 1: https://en.wikipedia.org/wiki/Beth_number#Beth_one

door **Bartjes** » vr 01 aug 2014, 13:31

Math-E-Mad-X schreef: @Bartjes: wat jij doet is een coordinaten transformatie. Je moet daarom altijd een factor in je integraal meenemen die compenseert voor de transformatie.

Iets vergelijkbaars gebeurd wanneer je bijvoorbeeld arbeid uitrekent door een kracht over een afstand te integreren. De integraal zal een andere uitkomst geven wanneer je afstand niet in centimeters maar in inches neemt. In dat geval zal het niet zoveel uitmaken omdat je dan ook gewoon de eenheid van arbeid aan kunt passen, maar in het geval dat de integraal een eenheidsloze grootheid moet opleveren zul je dus een extra factor in de integraal moeten meenemen die meetransformeert met je coordinaten.

Dat begrijp ik. Probleem is dan wel wat de juiste indicering van de mogelijke banen is, zodra je dat weet is het probleem van de niet-eenduidigheid opgelost. Gebruik je dan een andere dan de juiste (of voorgeschreven) indicering dan moet je daarvoor corrigeren. Maar ik zie nog geen logische standaard-manier om al die mogelijke banen van A naar B te indiceren...

Math-E-Mad-X schreef:
Nee, want een baan is altijd een continue functie

Dat zouden er inderdaad minder kunnen zijn zodat je toch weer op de kardinaliteit van R uitkomt. Heb je daar een bron voor?

door **Math-E-Mad-X** » vr 01 aug 2014, 13:06

Bartjes schreef:
Ik vermoed dat de kardinaliteit van het aantal banen van A naar B groter is dan de kardinaliteit van R. Je hebt dan zoiets:

http://en.wikipedia.org/wiki/Beth_number#Beth_two

Nee, want een baan is altijd een continue functie

door **Math-E-Mad-X** » vr 01 aug 2014, 13:00

@Bartjes: wat jij doet is een coordinaten transformatie. Je moet daarom altijd een factor in je integraal meenemen die compenseert voor de transformatie.

Iets vergelijkbaars gebeurd wanneer je bijvoorbeeld arbeid uitrekent door een kracht over een afstand te integreren. De integraal zal een andere uitkomst geven wanneer je afstand niet in centimeters maar in inches neemt. In dat geval zal het niet zoveel uitmaken omdat je dan ook gewoon de eenheid van arbeid aan kunt passen, maar in het geval dat de integraal een eenheidsloze grootheid moet opleveren zul je dus een extra factor in de integraal moeten meenemen die meetransformeert met je coordinaten.

Oneindig veel banen tegelijk?

Plaats een reactie

Weergave uitklappen Voorafgaande berichten: Oneindig veel banen tegelijk?

Re: Oneindig veel banen tegelijk?

Re: Oneindig veel banen tegelijk?

Re: Oneindig veel banen tegelijk?

Re: Oneindig veel banen tegelijk?

Re: Oneindig veel banen tegelijk?

Re: Oneindig veel banen tegelijk?

Re: Oneindig veel banen tegelijk?

Re: Oneindig veel banen tegelijk?

Re: Oneindig veel banen tegelijk?

Re: Oneindig veel banen tegelijk?

Re: Oneindig veel banen tegelijk?

Re: Oneindig veel banen tegelijk?

Re: Oneindig veel banen tegelijk?

Re: Oneindig veel banen tegelijk?

Re: Oneindig veel banen tegelijk?

Contact

Community