state space

[ukster]

ik blijf het vreemd vinden.

netwerk 3120 keer bekeken

ik gebruik voor dit netwerk geen initial conditions (volgens mij default nul)

de responsplot

stapresponsie 3119 keer bekeken

vanuit het state space model

statespacemodel 3121 keer bekeken

en is exact gelijk aan die van het professionele simulatiesoftwarepakket Microcap (stapresponsie 1V)

[ukster]

met de toestandsvariabelen:

toestandsvariabelen 3113 keer bekeken

[Xilvo]

Voor de eerste afgeleide krijg ik 2409,7, voor x 208,5
Heb je niet toevallig de verkeerde variable geplot?
(ik heb me verder nog niet in het model verdiept).

[ukster]

Nee,

1 3113 keer bekeken

2 3111 keer bekeken

[wnvl1]

Dit krijg ik met het Matlab State Space model.

Code: Selecteer alles

A = [0, 1, 0; 0,0, 1; 12, -6, 9];
B = [0;0;3];
C = [0,1,0];
D = [0];
x0 = [0 ; 0; 0];
sys = ss(A,B,C,D)
initial(sys,x0)

t = 0:0.00001:1;  
u = heaviside(t);

lsimplot(sys,u,t)
grid on

[wnvl1]

Als ik het juist begrijp, dan correspondeert mijn oplossing met de state space oplossing van Ukster in Maple, maar niet met de oplossing van Xilvo en Ukster als ze gewoon de DV oplossen.

[ukster]

rootlocusplot 3068 keer bekeken

Het is een instabiel systeem. zou dat een verklaring voor het verschil kunnen zijn?

[wnvl1]

Instabiel systeem betekent positieve eigenwaarden, maar dat verandert echt niks aan het feit dat beide oplossingen tot hetzelfde zouden moeten leiden. Ik zal later verder zoeken. De homogene is ook gemakkelijk analytisch met de hand op te lossen. Ik zal dat later hier posten.

[wnvl1]

Eventjes symbolisch met matlab het homogene systeem opgelost.

Code: Selecteer alles

syms x1(t) x2(t) x3(t)

ode1 = diff(x1) == x2;
ode2 = diff(x2) == x3;
ode3 = diff(x3) == 12*x1 - 6*x2 + 9*x3;
odes = [ode1; ode2;, ode3]

S=dsolve(odes)
simplify(S.x1)
simplify(S.x2)
simplify(S.x3)

Het zijn wel hele lange antwoorden.


x_1 =
C2*(sin((3^(1/2)*t*((233^(1/2) + 24)^(1/3) - (24 - 233^(1/2))^(1/3)))/2)*exp(-t*((233^(1/2) + 24)^(1/3)/2 + (24 - 233^(1/2))^(1/3)/2 - 3))*((699^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/2352 - (25*3^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/2352 + ((17*3^(1/2) + 699^(1/2))*(24 - 233^(1/2))^(1/3))/336) - exp(-t*((233^(1/2) + 24)^(1/3)/2 + (24 - 233^(1/2))^(1/3)/2 - 3))*cos((3^(1/2)*t*((233^(1/2) + 24)^(1/3) - (24 - 233^(1/2))^(1/3)))/2)*((233^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(1/3))/336 - (233^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/2352 + (17*(24 - 233^(1/2))^(1/3))/336 + (25*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/2352 + 5/12)) - C3*(exp(-t*((233^(1/2) + 24)^(1/3)/2 + (24 - 233^(1/2))^(1/3)/2 - 3))*cos((3^(1/2)*t*((233^(1/2) + 24)^(1/3) - (24 - 233^(1/2))^(1/3)))/2)*((699^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/2352 - (25*3^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/2352 + ((17*3^(1/2) + 699^(1/2))*(24 - 233^(1/2))^(1/3))/336) + sin((3^(1/2)*t*((233^(1/2) + 24)^(1/3) - (24 - 233^(1/2))^(1/3)))/2)*exp(-t*((233^(1/2) + 24)^(1/3)/2 + (24 - 233^(1/2))^(1/3)/2 - 3))*((233^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(1/3))/336 - (233^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/2352 + (17*(24 - 233^(1/2))^(1/3))/336 + (25*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/2352 + 5/12)) + C4*exp(t*((233^(1/2) + 24)^(1/3) + (24 - 233^(1/2))^(1/3) + 3))*((233^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(1/3))/168 - (233^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/1176 + (17*(24 - 233^(1/2))^(1/3))/168 + (25*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/1176 - 5/12)


x_2=
C2*(sin((3^(1/2)*t*((233^(1/2) + 24)^(1/3) - (24 - 233^(1/2))^(1/3)))/2)*exp(-t*((233^(1/2) + 24)^(1/3)/2 + (24 - 233^(1/2))^(1/3)/2 - 3))*((23*3^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/1176 + (699^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/392 + ((3*3^(1/2) + 699^(1/2))*(24 - 233^(1/2))^(1/3))/168) + exp(-t*((233^(1/2) + 24)^(1/3)/2 + (24 - 233^(1/2))^(1/3)/2 - 3))*cos((3^(1/2)*t*((233^(1/2) + 24)^(1/3) - (24 - 233^(1/2))^(1/3)))/2)*((233^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/392 - (233^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(1/3))/168 - (24 - 233^(1/2))^(1/3)/56 + (23*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/1176 + 1/6)) - C3*(exp(-t*((233^(1/2) + 24)^(1/3)/2 + (24 - 233^(1/2))^(1/3)/2 - 3))*cos((3^(1/2)*t*((233^(1/2) + 24)^(1/3) - (24 - 233^(1/2))^(1/3)))/2)*((23*3^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/1176 + (699^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/392 + ((3*3^(1/2) + 699^(1/2))*(24 - 233^(1/2))^(1/3))/168) - sin((3^(1/2)*t*((233^(1/2) + 24)^(1/3) - (24 - 233^(1/2))^(1/3)))/2)*exp(-t*((233^(1/2) + 24)^(1/3)/2 + (24 - 233^(1/2))^(1/3)/2 - 3))*((233^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/392 - (233^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(1/3))/168 - (24 - 233^(1/2))^(1/3)/56 + (23*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/1176 + 1/6)) + C4*exp(t*((233^(1/2) + 24)^(1/3) + (24 - 233^(1/2))^(1/3) + 3))*((233^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(1/3))/84 - (233^(1/2)*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/196 + (24 - 233^(1/2))^(1/3)/28 - (23*(24 - 233^(1/2))^(2/3))/588 + 1/6)


x_3=
exp(-t*((233^(1/2) + 24)^(1/3)/2 + (24 - 233^(1/2))^(1/3)/2 - 3))*(C2*cos((3^(1/2)*t*((233^(1/2) + 24)^(1/3) - (24 - 233^(1/2))^(1/3)))/2) + C4*exp(t*((3*(233^(1/2) + 24)^(1/3))/2 + (3*(24 - 233^(1/2))^(1/3))/2)) + C3*sin((3^(1/2)*t*((233^(1/2) + 24)^(1/3) - (24 - 233^(1/2))^(1/3)))/2))

[wnvl1]

Als je dit met de hand wil doen, dan verloopt dat via de eigenwaarden en eigenvectoren van A, die je kan herkennen in de oplossing.

De positieve reële delen van de eigenwaarden wijzen erop dat het systeem instabiel is.
Om de niet homogene DV op te lossen kan je werken met bvb variatie van parameters. Dat principe is uitbreidbaar naar stelsels van DV's. Die integralen gaan voor een stapfunctie u in het rechterlid volgens mij analytisch oplosbaar zijn.

[wnvl1]

Probleem is dat op het niet-homogene systeem matlab blijft hangen. Ik heb even gewerkt met 3 ipv met een stapfunctie om het iets eenvoudiger te maken.

Code: Selecteer alles

syms x1(t) x2(t) x3(t)

ode1 = diff(x1) == x2;
ode2 = diff(x2) == x3;
ode3 = diff(x3) == 12*x1 - 6*x2 + 9*x3 + 3;
odes = [ode1; ode2;, ode3]

S=dsolve(odes)
simplify(S.x1)
simplify(S.x2)
simplify(S.x3)

[wnvl1]

Maar als ik het gewooon oplos in Python met odeint, dan kom ik dezelfde oplossing uit als in mijn statemodel.
Dat doet mij vermoeden dat er met het state spacemodel niets mis is.
Kan het zijn dat de fout eerder zit in jullie alternatieve oplossing?

Code: Selecteer alles

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

x1=0
x2=0
x3=0

def dxdt(X, t):
    x1, x2, x3 = X
    dx1dt = x2
    dx2dt = x3
    dx3dt = 12*x1 - 6*x2 + 9*x3 + 3
    return dx1dt, dx2dt, dx3dt

t = np.linspace(0, 1, 1000000)
X0 = x1, x2, x3
sol = odeint(dxdt, X0, t)
print (sol)


plt.plot(t, sol[:, 0], 'r', label='x1(t)')
plt.plot(t, sol[:, 1], 'g', label='x2(t)')
plt.plot(t, sol[:, 2], 'b', label='x3(t)')
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('t')
plt.grid()
plt.show()