De integraal van de wortel van de sinus

[Mafkees]

Ik krijg de integraal v/d wortel v/d sinus niet uitgerekend. Dit is wat ik tot nu toe bereikt heb:
 
∫√sin(x)dx
 
Ik substitueer met x = arcsin(t²).
Dus dx = 2tdt / √(1-t⁴).
 
Dus ∫ √sin(x) dx = ∫ (2t² dt)/√(1-t⁴).
 
Vervolgens kwadrateer ik de hele integraal om van de wortel af te komen in de noemer.
 
Dus ∫ (2t² dt)/√(1-t⁴) = √(∫ (4t⁴ dt)/(1-t⁴)).
 
Dan doe ik 'n staartdeling binnen die integraal.
 
(-t⁴+1) /4t²     \ -4
            4t² - 4 -
                   4
 
Dus (4t²)/(-t⁴+1) = -4 + 4/(-t⁴+1).
 
∫ (-4 + 4/(-t⁴+1)) dt = -4t + ∫ (4dt)/(-t⁴+1)
 
Dan ga ik breuksplitsen, maar dat is 'n beetje te lang om uit te schrijven, dus het resultaat:
 
4/(-t⁴+1) = 2/(t² + 1) + 2/(1-t²)
 
2 ∫ dt/(t²+1) + 2 ∫ dt/(1-t²) = 2 arctan(t) + 2 arctanh(t) + C
 
Dus ∫ (-4 + 4/(-t⁴+1)) dt = -4t + 2 arctan(t) + 2 arctanh(t) + C.
 
Dus ∫ √sin(x) dx = √(-4√sin(x) + 2 arctan(√sin(x)) + 2 arctanh(√sin(x))) + C.
 
Maar als ik dat ding differentieer komt d'r heel wat anders uit. Dus waar gaat 't fout?

[Mafkees]

Oké, laat maar. Ik snap 'm al. Dat kwadrateren van die integraal ging fout. Dan moet je dus eigenlijk de dubbele integraal uitrekenen.
 
Nu snap ik ook waarom deze integraal niet in elementaire functies kan worden uitgedrukt. Je krijgt steeds ingewikkeldere uitdrukkingen bij 't integreren.

[Mafkees]

Hoewel, ik snap het eigenlijk nog steeds niet. Want als ik die kwadratering van die integraal wel goed uitvoer, kom er nog steeds 'n expliciete functie uit. En dat zou dus niet moeten kunnen.

[tempelier]

Waar komt die opgave vandaan?
 
Het staat me namelijk bij dat er een elliptische functie uitkomt.
Maar ik kan me vergissen natuurlijk.

[Back2Basics]

Op https://math.stackexchange.com/questions/1469846/integration-of-sqrt-sin-x-dxstaan drie uitwerkingen getoond, waaronder een beschrijving van een elliptische functie.

[Mafkees]

Maar ik snap nog steeds niet waarom er geen expliciete integraal van kan worden gevonden. Ik bedoel je zou zeggen dat
∫ (2t² dt)/√(1-t⁴) gewoon te integreren is met standaardmethodes.

[tempelier]

Het lijkt er wel op.
 
Maar ja het blijkt niet te lukken, zoals je gemerkt hebt.

[mathfreak]

Probeer ∫√sin x dx eens uit te werken door van de substitutie sin x = t uit te gaan.

[Mafkees]

Oké, maar dan kom ik gewoon op dezelfde integraal uit.
 
∫√sin(x)dx
 
sin x = t
cos x dx = dt
dx = dt / √(1-t²)
 
∫√sin(x)dx = ∫(√t*dt)/√(1-t²)
 
En dan zou mijn volgende stap zijn om t te substitueren met u². En dan kom ik dus weer uit op:
 
∫ (2u² du)/√(1-u⁴)
 
Maar die twee stappen had ik gewoon in één keer gedaan met die x = arcsin(t²).
 
Maar ik snap 'm inmiddels wel. Want als je deze integraal partieel integreert, kom je geen stap verder.

[mathfreak]

Oké, maar dan kom ik gewoon op dezelfde integraal uit.
 
∫√sin(x)dx
 
sin x = t
cos x dx = dt
dx = dt / √(1-t²)
 
∫√sin(x)dx = ∫(√t*dt)/√(1-t²)
 
En dan zou mijn volgende stap zijn om t te substitueren met u².

Wat je in plaats daarvan kunt doen is een machtreeksontwikkeling gebruiken voor

\(\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\)

Je kunt daarna gewoon termsgewijze integratie toepassen, wat dus een machtreeksontwikkeling in t als antwoord oplevert.

[Mafkees]

Wat je in plaats daarvan kunt doen is een machtreeksontwikkeling gebruiken voor

\(\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\)

Je kunt daarna gewoon termsgewijze integratie toepassen, wat dus een machtreeksontwikkeling in t als antwoord oplevert.

Maar waarom zou je eerst substitutie toepassen voordat je de Taylor-reeks berekent?

[mathfreak]

Maar waarom zou je eerst substitutie toepassen voordat je de Taylor-reeks berekent?

Bedenk dat de integraal in zijn oorspronkelijke niet-gesubstitueerde vorm geen aanwijzing geeft voor de vorm waarin de uitkomst kan worden uitgedrukt. Je kunt hooguit vaststellen dat een herleiding tot een standaardprimitieve blijkbaar niet mogelijk is en dat je dus andere methodes moet toepassen om de gevraagde integraal verder uit te werken. De oorspronkelijke integraal bevat een niet-elementaire functie waardoor een standaardintegratie niet mogelijk is. Een elementare functie is een functie die door algebraïsche operaties, samenstellingen van functies en omkeerbaarheid van functies uit algebraïsche en exponentiële functies gevormd kan worden. Tot de elementaire functies behoren de rationale functies (gevormd uit het quotiënt van 2 polynomen), exponentiële en logaritmische functies, de goniometrische en de cyclometrische functies en de hyperbolische en de areafuncties.

[Mafkees]

Bedenk dat de integraal in zijn oorspronkelijke niet-gesubstitueerde vorm geen aanwijzing geeft voor de vorm waarin de uitkomst kan worden uitgedrukt. Je kunt hooguit vaststellen dat een herleiding tot een standaardprimitieve blijkbaar niet mogelijk is en dat je dus andere methodes moet toepassen om de gevraagde integraal verder uit te werken. De oorspronkelijke integraal bevat een niet-elementaire functie waardoor een standaardintegratie niet mogelijk is. Een elementare functie is een functie die door algebraïsche operaties, samenstellingen van functies en omkeerbaarheid van functies uit algebraïsche en exponentiële functies gevormd kan worden. Tot de elementaire functies behoren de rationale functies (gevormd uit het quotiënt van 2 polynomen), exponentiële en logaritmische functies, de goniometrische en de cyclometrische functies en de hyperbolische en de areafuncties.

Ah, weer wat geleerd. Ik dacht altijd dat de inverse functie van bv de sinh de arcsinh was. Maar dat is dus de arsinh.
 
Maar wat is de reden dat je dan na substitutie ervoor kiest om de Taylorreeks van de gesubstitueerde variant uit te rekenen ipv die van de niet-gesubstitueerde? De gesubstitueerde vorm ziet d'r nl ingewikkelder uit naar mijn idee.

[tempelier]

Wat men graag wil is een reeksontwikkeling die een algemene term oplevert.
 
Nog beter is als hij in de tabellen reeks vermeld staat.
Soms lukt dat beter door eerst een substitutie toe te passen.
 
Beide vormen zijn volgens mij niet makkelijk terug te brengen tot een reeks met een gemakkelijk te vinden algemene term.
 
PS.
 
arcsinh is een algemeen geaccepteerde notatie.
 
Zelfs voor varianten als sinL (sinus Lemniscatus) doet men dat.