cochleoide

[ukster]

cochleoide 161 keer bekeken

Booglengte FC ?

[ukster]

Flauwe (eenvoudige) vraag eigenlijk...

beter is:
Laat zien dat de cochleoide via parallelle projectie de kromme cirkelboog 'afrolt' tot een recht lijnstuk op de x-as.
Lengte FH ,coordinaten C en Q
Oppervlakte gebied ingesloten door de cochleoide. (0..θ)

[wnvl1]

De cochleoide wordt gegeven door de poolvergelijking:
\[
r(\phi) = a \frac{\sin \phi}{\phi}
\]
waarbij \(a > 0\) een constante is.

De oppervlakte in poolcoördinaten is:
\[
A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r(\phi)^2 \, d\phi
\]

Voor \(\alpha = 0\) en \(\beta = \theta\) krijgen we:
\[
A(\theta) = \frac{1}{2} \int_{0}^{\theta} \left( a \frac{\sin \phi}{\phi} \right)^2 d\phi
= \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\theta} \frac{\sin^2 \phi}{\phi^2} \, d\phi
\]

Met \(\sin^2 \phi = \frac{1 - \cos(2\phi)}{2}\):
\[
A(\theta) = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\theta} \frac{1 - \cos(2\phi)}{2\phi^2} \, d\phi
= \frac{a^2}{4} \int_{0}^{\theta} \frac{1 - \cos(2\phi)}{\phi^2} \, d\phi
\]

We berekenen de onbepaalde integraal:
\[
I = \int \frac{1 - \cos(2\phi)}{\phi^2} \, d\phi
\]

Partiële integratie met \(u = 1 - \cos(2\phi)\) en \(dv = \phi^{-2} d\phi\):
\[
du = 2\sin(2\phi) \, d\phi, \quad v = -\frac{1}{\phi}
\]

Dus:
\[
I = -\frac{1 - \cos(2\phi)}{\phi} + 2 \int \frac{\sin(2\phi)}{\phi} \, d\phi
\]

Per definitie is de integraalsinus:
\[
\operatorname{Si}(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \, dt
\]

Met de substitutie \(t = 2\phi\) vinden we:
\[
\int \frac{\sin(2\phi)}{\phi} \, d\phi = \operatorname{Si}(2\phi) + C
\]

Dus:
\[
I = -\frac{1 - \cos(2\phi)}{\phi} + 2\,\operatorname{Si}(2\phi) + C
\]

Invullen in de oppervlakteformule:
\[
A(\theta) = \frac{a^2}{4} \left[ -\frac{1 - \cos(2\phi)}{\phi} + 2\,\operatorname{Si}(2\phi) \right]_{0}^{\theta}
\]

Dus:
\[
A(\theta) = \frac{a^2}{4} \left( -\frac{1 - \cos(2\theta)}{\theta} + 2\,\operatorname{Si}(2\theta) - \lim_{\phi \to 0^+} \left[ -\frac{1 - \cos(2\phi)}{\phi} + 2\,\operatorname{Si}(2\phi) \right] \right)
\]

Voor de limiet \(\phi \to 0^+\) geldt:
\[
1 - \cos(2\phi) \approx 2\phi^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{1 - \cos(2\phi)}{\phi} \approx 2\phi \to 0
\]
en ook \(\operatorname{Si}(2\phi) \to 0\). Dus de limiet is gelijk aan \(0\).

Het eindresultaat is:
\[
\boxed{A(\theta) = \frac{a^2}{4} \left( 2\,\operatorname{Si}(2\theta) - \frac{1 - \cos(2\theta)}{\theta} \right)}
\]

Of:
\[
\boxed{A(\theta) = \frac{a^2}{2}\,\operatorname{Si}(2\theta) - \frac{a^2}{4} \cdot \frac{1 - \cos(2\theta)}{\theta}}
\]

Controle voor de eerste lus \(\theta = \pi\):
\[
A(\pi) = \frac{a^2}{4} \left( 2\,\operatorname{Si}(2\pi) - \frac{1 - \cos(2\pi)}{\pi} \right)
= \frac{a^2}{2}\,\operatorname{Si}(2\pi)
\]

Controle voor \(\theta \to 0\):
Voor kleine \(\theta\) geldt \(\operatorname{Si}(2\theta) \approx 2\theta\) en \(1 - \cos(2\theta) \approx 2\theta^2\), dus:
\[
A(\theta) \approx \frac{a^2}{4} \left( 4\theta - 2\theta \right) = \frac{a^2}{4} \cdot 2\theta = \frac{a^2\theta}{2} \to 0
\]
Dit klopt, want bij \(\theta = 0\) is er nog geen oppervlakte ingesloten.

[wnvl1]

Flauwe (eenvoudige) vraag eigenlijk...

beter is:
Laat zien dat de cochleoide via parallelle projectie de kromme cirkelboog 'afrolt' tot een recht lijnstuk op de x-as.

Ik snap niet wat hiermee bedoeld wordt. Ik heb geprobeerd het te interpreteren met verschillende AI's maar het is mij niet duidelijk.

[ukster]

Omdat FT exact gelijk is aan de booglengte van de cirkelboog FC = 2Rθ, laat dit zien dat de parallelle projectie de cirkelboog exact afrolt tot het rechte lijnstuk FT op de x-as

[wnvl1]

OK, ik begrijp het nu. Ik had de betekenis van afrollen in deze context eerst niet zo goed door.